Versión biharmonic de Poisson Integral

Question

Antecedentes

El Integral de Poisson

$$ \tilde h(r e^{i \theta}) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi h(e^{i \phi}) P_r(\theta - \phi) d\phi$$

toma una función arbitraria continua de valores complejos $h(e^{i \theta})$ definido en el círculo unitario y lo extiende a una función $\tilde h(z)$ definido dentro del disco de la unidad de manera que $\tilde h(z)$ es armónico$\Delta \tilde h(z) = 0$) y tiene valores límite $h(z)$ en el círculo unitario.

$P_r(\theta)$ es el llamado Poisson Kernel y, entre otras representaciones,

$$P_r(\theta) = \Re \left( \frac{1 + r e^{i \theta}} {1 - r e^{i \theta}} \right) , \ \ \ \ r e^{i \theta} \in \mathbb{D}.$$

Pregunta

¿Hay alguna función de kernel diferente que pueda usar que haría $\tilde h(z)$biharmonic en lugar de solo armónico dentro del disco de la unidad? Es decir, me gustaría encontrar algo para reemplazar.$P_r(\theta)$ con para que $\Delta^2 \tilde h(z) = 0$.

Answer 1

Después de un consejo de Conrad, pude encontrar un documento diferente ( Valores límite tangenciales de una integral de poisson biharmonic en un disco ) que da el "Kernel de Poisson biharmonic"$\tilde P$ en términos del núcleo de Poisson regular:

$$ \tilde P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{2} (P_r(\theta) + P_r^2(\theta)) $$