Aide avec la solution d'estimation polynomiale de Taylor.

Question

Estimation $e^{0.1}$ à 6 décimales en utilisant un polynôme de Taylor d'environ 0. Utilisez la limite d'erreur pour prouver que votre estimation est exacte à au moins 6 décimales.

Ma solution est-elle correcte?

On sait que les dérivées de chaque terme sont égales à $e^x,$ en tant que dérivé de $e^x$ est toujours égal à $e^x.$ Par conséquent, nous avons cela $f^{(n)} (0) = 1$ pour tous $n.$ Cela rend notre polynôme de Taylor égal à $$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$$ Puisque nous estimons $e^{0.1}$ à 6 décimales, nous utilisons un polynôme quartique pour obtenir $$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} = \boxed{1.105171}.$$ On sait que la valeur absolue de l'erreur d'estimation $e^{0.1}$ par un polynôme de Taylor de degré 4 environ $a=0$ est au plus $$\left| \frac{M}{5!}(0.1)^{5} \right|,$$ où $M$ est la valeur maximale de $|f^{5}(x)|$ pour $x$ sur $[0,0.1].$ Cela nous donne $M = e^{0.1},$ ou $$\left| \frac{e^{0.1}}{5!}(0.1)^{5} \right| \approx 0.00000009209 < E = 0.000001.$$ Par conséquent, notre estimation est précise à au moins 6 décimales

Answer 1

Vous devez terminer l'erreur liée à quelque chose de ceci, pour éviter d'utiliser une valeur pré-calculée de $e^{.1}$.

Nous avons$$1.105171<e^{.1}<1.105171+\frac{10^{-5}}{120}e^{.1}$$ La seconde inégalité donne $$e^{.1}<\frac{1.105171}{1-\frac{10^{-5}}{120}}\approx1.105171092097591$$ de sorte que $$1.105171<e^{.1}<1.1051711$$