Amélioration du théorème d'approximation de Dirichlet.
Rappelez-vous que Dirichlet a montré ce qui suit:
Pour chaque nombre réel $x$ et chaque $Q>1$, il existe un vecteur entier $(p,q)\in \mathbb Z^2$ tel que $|xq-p|<1/Q$ et $0<q<Q$.
Je me demande si ce qui suit est vrai:
Pour chaque nombre réel $x$ et chaque $\epsilon>0$, il existe $Q_{\epsilon}$ tel que pour tous $Q>Q_{\epsilon}$, il y a un vecteur entier $(p,q)\in \mathbb Z^2$ tel que $|xq-p|<\epsilon/Q$ et $0<q<Q$.
Bien sûr, cela est trivialement vrai quand $x$ est rationnel, mais je ne sais pas ce qui se passe quand $x$ est irrationnel (en particulier lorsqu'il est transcendantal).
Notez que le théorème de Lerendre devrait en être un cas particulier en prenant $\epsilon=1$ et nous pouvons toujours supposer $Q>Q_{\epsilon} \ge 1$.
Mise à jour: Selon les commentaires de rtybase ci-dessous, par le théorème de Liouville (sur l'approximation diophantienne), ma déclaration est fausse si $x$est algébrique. Mais que se passe-t-il quand$x$ est transcendantal?
Réponses
Votre conjecture est fausse. La meilleure constante possible est$\epsilon = \frac 1 {\sqrt 5}$, ce qui est serré pour $\phi=\frac{1+\sqrt 5}2$ et ses nombres équivalents sous la relation d'équivalence:
$$y\sim x \iff y=\frac{ax+b}{cx+d}; ad-bc=1$$
Vous pouvez prouver qu'en montrant que les meilleurs approximants sont les convergents vers la fraction continue, puis en notant que ceux pour $\phi$sont des rapports des nombres de Fibonacci. Puis prouvant que
$$\lim_{n\to\infty}F_n|\phi F_n-F_{n+1}|\to \frac 1{\sqrt 5}$$
Utilisation du formulaire fermé pour les numéros de Fibonacci.
Si vous excluez tous les $x\sim\phi$ vous pouvez améliorer la constante pour $\epsilon=2\sqrt 2$, et si vous répétez le processus, vous trouvez les nombres de Lagrange , qui convergent vers 3.
Comme indiqué dans les commentaires, la mesure d'irrationalité de tous les nombres algébriques irrationnels est 2 (théorème de Roth). Quant aux nombres transcendantaux, presque tous ont encore la mesure d'irrationalité 2.