Approximation par incrémentation d'entiers positifs

Question

Laisser$\mathbb{N}$désignent l'ensemble des entiers positifs. Pour$\alpha\in \; ]0,1[\;$, laisser$$\mu(n,\alpha) = \min\big\{|\alpha-\frac{b}{n}|: b\in\mathbb{N}\cup\{0\}\big\}.$$(Notez qu'on aurait pu écrire$\inf\{\ldots\}$à la place de$\min\{\ldots\}$, mais il est facile de voir que l'infimum est toujours un minimum.)

Y'a-t-il un$\alpha\in \; ]0,1[$telle que pour tout$n\in\mathbb{N}$on a$\mu(n+1,\alpha)<\mu(n,\alpha)$?

Answer 1

Il n'y a pas de$\alpha$.

Si$\alpha\in\mathbb Q$, il y a$n$tel que$\mu(n,\alpha)=0$, Donc$\mu(n+1,\alpha)<\mu(n,\alpha)$est impossible.

Si$\alpha\notin\mathbb Q$, un résultat classique en approximation diophantienne dit qu'il y a une infinité$n$tel que$$\mu(n,\alpha)<\frac1{\sqrt5n^2}.$$Si donc$$\mu(n+1,\alpha)<\mu(n,\alpha),$$laisser$a/n$et$b/(n+1)$être les approximations respectives les plus proches de$\alpha$. Nous avons$$\left|\frac an-\frac b{n+1}\right|<\frac2{\sqrt5n^2}<\frac1{n(n+1)},$$pendant que$$\left|\frac an-\frac b{n+1}\right|=\frac{|a(n+1)-bn|}{n(n+1)}\ge\frac1{n(n+1)}$$sauf si$a(n+1)=bn$, c'est-à-dire que les fractions approximatives sont$0$ou alors$1$. Puisque cela se produit pour une infinité de$n$, c'est impossible pour$\alpha\in(0,1)$.

Answer 2

Non. Si$\alpha$est rationnel, défini$n$au dénominateur de$\alpha$. Sinon régler$n$au dénominateur de la troisième convergent vers$\alpha$. Dans les deux cas, on obtient$\mu(n+1,\alpha)>\mu(n,\alpha)$.

Answer 3

C'est facile de prouver que$\alpha$ne devrait pas être un nombre rationnel.

Maintenant, laisse$\frac{1}{n-1}>\alpha>\frac{1}{n}, n>1$et$\alpha-\frac{1}{n} < \frac{1}{n-1}-\alpha$.

Puis,$\mu(\alpha, k+1)< \mu(\alpha ,k)$pour tous$k=1,2..., n-1$.

Si$\mu(\alpha, n+1)<\mu(\alpha, n)$,

alors soit,

1. $\frac{1}{n-1}>\alpha >\frac{b}{n+1} >\frac{1}{n}$pour certains$b \in \mathbb N, b>1$. ou alors,
2. $\frac{1}{n-1}>\frac{b}{n+1} >\alpha >\frac{1}{n} $pour certains$b \in \mathbb N, b>1$(Avec$\frac{b}{n+1}+\frac{1}{n}>2\alpha$).

Ces deux impliquent

$1+\frac{2}{n-1}>b>1+\frac{1}{n} \Rightarrow n=2$

Satisfaire$\mu(\alpha, 4)<\mu(\alpha, 3)<\mu(\alpha, 2)<\mu(\alpha, 1)$nous avons besoin,$\frac{3}{4}>\alpha>\frac{17}{24}$.

Mais,$\frac{4}{5}>\frac{3}{4}$et$\frac{3}{4}-\frac{17}{24}<\frac{17}{24}-\frac{3}{5}$, Par conséquent,$\mu(\alpha, 5)>\mu(\alpha, 4)$.

Donc, il ne peut y avoir de tels$\alpha \in (0,1)$.