Autre définition d'une séquence de Cauchy

Question

Récemment, j'ai trouvé une définition alternative supposée pour une séquence de Cauchy dans $\mathbb{R}^n$ donné par:

Une suite est une suite de Cauchy ssi un rayon est donné $r$ et un index $N$, toute la séquence à partir de $x_N$ est dans une boule avec un tel rayon, c'est-à-dire $\{x_i\}_{i = N}^\infty \in B(c, r)$, où $c$ est le centre de la balle.

J'ai beaucoup de mal à le prouver. Dois-je dire ça$c$est la limite de la séquence? Cela n'implique-t-il pas déjà que la séquence est Cauchy, car toute séquence convergente est une séquence de Cauchy dans$\mathbb{R}^n$?

Answer 1

Vous n'avez même pas besoin d'utiliser le fait qu'il y a convergence, mais votre déclaration devrait être:

Une séquence est Cauchy ssi pour chaque $r > 0$ il existe $N$ tel que $\{x_n\}_{n \geq N} \subset B(c, r)$ pour certains $c$.

Notez que l'ordre des quantificateurs est légèrement différent de ce que vous avez écrit.

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Voici comment afficher l'équivalence:

Si $\{x_k\}$ est Cauchy, alors pour chaque $r > 0$, il y a $N$ grand tel que: $$\sup_{n, m \geq N} |x_n - x_{m}| \leq r. $$ En particulier, si $m \geq N$, puis $|x_n - x_N| \leq r$, et donc $\{x_n\}_{n \geq N} \subset B(x_N, r)$.

D'un autre côté, si la conclusion tient, laissez $\epsilon > 0$. Nous avons ça$\{x_n\}_{n \geq N} \subset B(c, \tfrac{\epsilon}{2})$, pour certains $c$. Mais notez maintenant que cela implique: pour chaque$n, m \geq N$: $$ |x_n - x_m| \leq |x_n - c| + |x_m - c| \leq \epsilon. $$ Et donc $\{x_k\}$ est Cauchy.