Borel mesure sur un ensemble

Question

Laisser $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ être continu à droite ($f(x) = \lim\limits_{h\to 0^+} f(x+h) \,\forall x \in \mathbb{R}^n$) et $n$-augmentation (ie $\Delta_{(a,b]} F \geq 0\,\forall a \leq b$ (Ici $\leq $ est compris par composants), où le volume d'un intervalle multivarié sous $f$ est $\Delta_{(a,b]}F := \sum_{i\in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_{j=1}^n i_j} F(a_1^{i_1}b_1^{1-i_1},\cdots, a_n^{i_n}b_n^{1-i_n}).$ Montrer qu'il existe une mesure Borel unique $\mu_F$ tel que $\mu_F((a,b]) = \Delta_{(a,b]} F, a\leq b.$

Je pense que je devrais utiliser le théorème d'extension de Caratheodory. Je pense utiliser la bague$R := \{(a,b] \in \mathbb{R}^n : a\leq b\} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),$ où $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ désigne la forêt boréale $\sigma$-algèbre sur $\mathbb{R}^n.$ J'ai besoin de définir une prémésure $\mu_0$ sur $R,$ dire $\mu_0(\cup_{i=1}^\infty (a_i, b_i]) = \sum_{i=1}^\infty \Delta_{(a_i,b_i]} F.$ Alors si je peux vérifier que c'est une prémésure, on aurait clairement que $\mu_F(A) = \mu_0(A)$ pour chaque ensemble non nul de $R,$ donc par le théorème d'extension de Caratheodory, $\mu_F$ est unique.

Est-ce incorrect?

Answer 1

Comme vous l'avez mentionné dans votre article, cela peut être obtenu par l'application du théorème d'extension de Caratheorody, bien qu'il soit peut-être plus pratique de considérer les semirings (voir les fondements de la probabilité de Kallenberg)

Envisagez des mesures sur l'espace Borel $(\mathbb{R}^d,\mathscr{B}(\mathbb{R}^d))$. Pour${\bf x},\,{\bf y}\in\,\mathbb{R}^d$, nous utilisons la notation ${\bf x}\leq {\bf y}$, et ${\bf x}<{\bf y}$ pour indiquer que $x_k\leq y_k$ et $x_k<y_k$ respectivement et notons aussi ${\bf e}=(1,\ldots,1)^\top$. Enfin, considérez la collection$\mathscr{E}$ de tout $d$- intervalles dimensionnels $\prod^d_{k=1}(a_k,b_k]=({\bf a},{\bf b}]$ avec $a_k\leq b_k$, ce qui est clairement un semiring.

Pour toute fonction $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ définir la $j$-opérateur incrément $$\Delta_j(a,b)F({\bf s})= F(s_1,\ldots,s_{j-1},b,s_{j+1},\ldots,s_d)-F(s_1,\ldots,s_{j-1},a, s_{j+1},\ldots,s_d)$$ et la convention évidente pour $j=1$ et $j=d$. Clairement$\Delta_j(a, b)$ est linéaire.

Pour les paires $\{(a_j,b_j):j=1,\ldots,n\}$ avec $a_j<b_j$, Nous utilisons $\prod^n_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$ la composition $\Delta_n(a_n,b_n)\circ\prod^{n-1}_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$, où $\prod^1_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)=\Delta_1(a_1,b_1)$.

Laisser $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ avoir raison - continue, c'est-à-dire $\lim_{{\bf x}\searrow{\bf a}}F({\bf x})=F({\bf a})$. Pour$a\leq b$ et $1<j<d$ dénoter par

Théorème: Supposons que$F$a raison - continue et a des incréments non négatifs , c'est-à-dire$\mu(({\bf a},{\bf b}]):=\prod^d_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)F\geq0$ pour toute $d$- intervalle dimensionnel $({\bf a},{\bf b}]$. ensuite$\mu$ admet une extension d'une mesure sur un $\sigma$--algèbre $\mathcal{M}_\mu\supset\mathscr{B}(\mathbb{R}^d)$.

Esquisse de la preuve:

Clairement $\mu(\emptyset)=0$ et $\mu$ est finement additif sur $\mathscr{E}$. Nous prouvons maintenant que$\mu$ est dénombrable sous-additif sur $\mathscr{E}$. Si$({\bf a},{\bf b}]=\bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]$, la droite - continuité et positivité des incréments de $F$ impliquer que pour tout $\varepsilon>0$, il y a ${\bf a}_\varepsilon$ et ${\bf b}_\varepsilon(j)$ tel que $$ \mu(({\bf a},{\bf b}])< \mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}])+\tfrac{\varepsilon}{2}; \quad \mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)])< \mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\tfrac{\varepsilon}{2^{m+1}} $$ Depuis la boîte de fermeture $[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]$ est compact et $$\begin{align}\label{compactbox} [{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}] \subset ({\bf a},{\bf b}]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))\tag{1}label{compactbox} \end{align} $$ il y a $N_0\in\mathbb{N}$ tel que $({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset \bigcup^{N_0}_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))$. L'additivité finie implique une sous-additivité finie sur le semirage$\mathscr{E}$, donc $$\begin{align} \mu(({\bf a},{\bf b}])&<\mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]) +\tfrac{\varepsilon}{2} \leq \sum^{N_0}_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)]) + \tfrac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \sum^\infty_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\varepsilon \end{align} $$ Dénombrable sous-additivité de $\mu$ sur $\mathscr{E}$ suit en laissant $\varepsilon\searrow0$. La conclusion découle du théorème d'extension de Carath'eodory.