Calcul de la probabilité du processus de Poisson

Question

J'ai le processus de Poisson $\{N(t)\}_{t\geq 0}$ avec taux $\lambda=2$. Étant donné que quatre événements se produisent pendant l'intervalle de temps$[0,2]$, quelle est la probabilité que le premier événement se produise avant le temps $t=1$?

D'après ce que je comprends, j'ai besoin de calculer $\mathbb{P}(N(1)\geq1\mid N(2)-N(0)=4).$

Je suppose donc que je dois utiliser la formule de probabilité conditionnelle \ begin {équation} \ frac {\ mathbb {P} (N (1) \ geq 1, N (2) -N (0) = 4)} {\ mathbb {P } (N (2) -N (0) = 4)} \ end {équation}

J'ai du mal maintenant à voir l'intersection entre les deux parties de mon numérateur. Je ne suis pas non plus trop convaincu que mon fonctionnement pour le dénominateur est correct. \ begin {équation} \ mathbb {P} (N (2) -N (0) = 4) = e ^ {- 2} \ frac {(2) ^ 4} {4!} = e ^ {- 2} \ frac {2} {3} \ end {équation} Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment identifier l'intersection dans le numérateur et si mon calcul pour le dénominateur est correct?

Answer 1

Dans la définition du processus de Poisson, on suppose que $N(0)=0$. [Réf. https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process]

$N(2)-N(0)=N(2)$ est Poisson avec paramètre $4$. Le dénominateur est donc$e^{-4}\frac {4^{4}} {4!}$.

Astuce pour le numérateur: Soit $X=N(1)$ et $Y=N(2)-N(1)$. ensuite$X$ et $Y$ sont indépendants avec $Poiss(2)$Distribution. . Par conséquent$P(X \geq 1, X+Y=4)= \sum\limits_{n=1}^{4} P(X=n) P(Y=4-n)=\sum\limits_{n=1}^{4}e^{-2} \frac {2^{n}} {n!} e^{-2}\frac {2^{4-n}} {(4-n)!}$. .