Calculez l'aire d'une surface, rencontrant une étrange intégrale
calculez l'aire de cette surface jaune, qui est en fait un paraboloïde:
$x^2+y^2=2az$(jaune), coupé par $(x^2+y^2)^2=2a^2xy$(un bleu)
Pour calculer la pièce entourée dans la surface bleue, utilisez les coordonnées polor: \ begin {cases} x = r \ cos \ theta \\ y = r \ sin \ theta \\ z = \ frac {r ^ 2 } {2a} \\ \ end {cases} utilise Gauss efficace pour calculer l'aire: \ begin {cases} E = (\ frac {\ partial x} {\ partial r}) ^ 2 + (\ frac {\ partial y } {\ r partial}) ^ 2 + (\ frac {\ partial z} {\ partial r}) ^ 2 & = 1 + \ frac {r} {a} \\ F = \ frac {\ partial x} {\ r partiel} \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial y} {\ partial r} \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial z} {\ partial r} \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} & = 0 \\ G = (\ frac {\ partial x} {\ partial \ theta}) ^ 2 + (\ frac {\ partial y } {\ partial \ theta}) ^ 2 + (\ frac {\ partial z} {\ partial \ theta}) ^ 2 & = r ^ 2 \\ \ end {cas} $$S=\iint\limits_D\sqrt{EG-F^2}drd\theta$$ où D devient $\left\{ (r,\theta )|\theta \in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right] \cup \left[ \pi ,\frac{3}{2}\pi \right] ,\mathrm{r}\in \left[ 0,\mathrm{a}\sqrt{\sin 2\theta} \right] \right\}$ puisque la surface bleue peut être écrite comme $r^2=a^2\sin2\theta$.
Je ne trouve rien de mal jusqu'à présent, mais cet intergal est extrêmement complexe, et Mathematica me donne une solution non élémentaire. Cependant, la solution standard donnée par le manuel à cette question est$\frac{20-3 \pi}{9} a^{2}$
Comment puis-je obtenir cette réponse? Ou quel est le problème avec ma méthode?
Réponses
Par homogénéité on peut supposer $a=1$. Laisser$z=f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}$, alors (voir intégrale de surface )$$\begin{align} A_1&=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dxdy=\iint_D\sqrt{1+x^2+y^2}\,dxdy\\ &=2\int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{\sqrt{\sin(2\theta)}}\sqrt{1+r^2}\cdot r\,drd\theta\\ &=\frac{2}{3}\int_{\theta=0}^{\pi/2} ((1+\sin(2\theta))^{3/2}-1)\,d\theta\\ &=\frac{2}{3}\int_{\theta=0}^{\pi/2} (\cos(\theta)+\sin(\theta))^{3}\,d\theta-\frac{\pi}{3}\\ &=\frac{20}{9}-\frac{\pi}{3}. \end{align}$$Pour la dernière intégrale, vous pouvez développer le cube et utiliser la formule de réduction standard . finalement$$A_a=A_1\cdot a^2=\left(\frac{20}{9}-\frac{\pi}{3}\right)a^2.$$
La même chose découle de $$\begin{cases} E=(\frac{\partial x}{\partial r})^2+(\frac{\partial y}{\partial r})^2+(\frac{\partial z}{\partial r})^2&=1+\color{blue}{\frac{r^2}{a^2}}\qquad \text{(a square is missing)}\\ F=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial\theta}&=0\\ G=(\frac{\partial x}{\partial\theta})^2+(\frac{\partial y}{\partial\theta})^2+(\frac{\partial z}{\partial\theta})^2&=r^2 \end{cases}$$ et donc $\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}}\cdot r$.
Remarquez que vous avez manqué un carré également dans la définition de la surface bleue: il devrait être $(x^2+y^2)^2=2a^2xy$ de sorte qu'en coordonnées cylindriques on trouve $r^2=a^2\sin(2\theta)$.
Je viens de l'hypothèse, que pour obtenir la réponse souhaitée, vous devriez avoir un cylindre $(x^2+y^2)^2=2a^2xy$ à la place du titre apporté $x^2+y^2=2a^2xy$ (le bleu).
Ensuite, nous aurons $\sqrt{1+z'_x{^2}+z'_y{^2}} = \frac{1}{a}\sqrt{a^2+x^2+y^2}$. Après avoir écrit une double intégrale, il suffit d'utiliser les coordonnées polaires habituelles, nous aurons donc$$S=\frac{4}{a}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,d\phi \int\limits_{0}^{a\sqrt{\sin 2\phi}}r\sqrt{a^2+r^2}\,dr = \frac{4}{3} a^2 \left( \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sin \phi +\cos \phi)^3\,d \phi - \frac{\pi}{4} \right ) =\\ =\frac{4}{3} a^2 \left( 2\sqrt{2} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^3 \left( \phi+\frac{\pi}{4} \right )\,d\phi - \frac{\pi}{4}\right ) =\\ =\frac{4}{3} a^2 \left(2\sqrt{2} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \cos^2 \left( \phi+\frac{\pi}{4} \right )-1 \right )\,d \left( \cos \left( \phi+\frac{\pi}{4} \right )-1 \right ) - \frac{\pi}{4}\right ) = \frac{a^2}{9}(20-3\pi)$$