Caractérisation de la log-convexité

Question

Je lis que si nous prenons $f: \mathbb{R} \to (0, +\infty)$, tel que pour tous $a \in \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{ax}f(x)$ est convexe alors $f$ est log-convexe (signifiant $\log \circ f$ est convexe).

J'ai essayé de le prouver, mais je n'ai pas pu obtenir le résultat.

Cependant, j'ai aussi lu que si pour tous $a \in \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{ax}f(x)$ est convexe alors $x \mapsto (f(x))^{a}$ est convexe pour tous $a > 0$. Je n'ai pas pu trouver de preuve non plus ... Mais j'ai réussi à prouver que si cette dernière condition est vérifiée, alors$f$ est log convexe.

Pourriez-vous donc s'il vous plaît m'aider à prouver l'une de ces deux affirmations (soit la première, qui est en fait le résultat que je souhaite au final, soit la seconde, qui pourrait m'amener au premier résultat)?

Merci.

Answer 1

Correction des nombres réels $x < y$ et $0 < \lambda < 1$. Depuis$x \mapsto e^{ax}f(x)$ est convexe, nous avons $$ e^{a(\lambda x + (1-\lambda) y} f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda e^{ax}f(x) + (1-\lambda)e^{ax}f(x) $$ ce qui équivaut à $$ \begin{align} f(\lambda x + (1-\lambda) y) &\le \lambda e^{a(1-\lambda)(x-y)}f(x) + (1-\lambda)e^{a \lambda(y-x)}f(y) \\ &= \lambda C^{1-\lambda}f(x) + (1-\lambda)C^{-\lambda}f(y) \end{align} $$ avec $C = e^{a(x-y)}$. Cela vaut pour tous$a \in \Bbb R$, donc nous pouvons choisir $a$ tel que $C = f(y)/f(x)$. Cela donne $$ f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le f(x)^{\lambda} f(y)^{1-\lambda} $$ et c'est exactement la condition de convexité pour $\log \circ f$.

Remarques:

• La conclusion opposée vaut également: si $f: \Bbb R \to (0, +\infty)$ est log-convexe alors $x \mapsto e^{ax}f(x)$ est convexe pour tous $a \in \Bbb R$.
• Cette caractérisation peut être utilisée pour montrer que la somme des fonctions log-convexes est à nouveau log-convexe. .