Carte de restriction entre deux espaces

Question

Notez qu'il n'y a pas d'opérateur borné $T : c_0 \rightarrow c_{00}$ tel que $T|c_{00}$ est la carte d'identité.

Considérez la carte de restriction donnée par $F:c_0^* \rightarrow c_{00}^*$, où $F(f)(x)=f(x)$, pour $f \in c_0^*, x \in c_{00}^*$.

J'ai montré que c'était bien défini. J'essaie de déterminer si c'est injectif et si c'est surjectif.

Mon intuition est que c'est une bijection, comme $c_0^*=c_{00}^*=l_1$, quand $c_0^* $ et $c_{00}^*$ sont sous la norme suprême.

Mais je ne sais pas comment construire la preuve.

Answer 1

(basé sur le commentaire de Jochen)

Pour l'injectivité, supposons que $f\in c_0^*$ satisfait $F(f)(x)=0$ pour tous $x\in c_{00}$. Ensuite nous avons$f(x)=0$ pour tous $x\in c_{00}$, et depuis $c_{00}$ est dense dans $c_0$ cela implique $f=0$.

Pour la surjectivité, supposons que $g\in c_{00}^*$est donné. Puisque$g$ est une fonctionnelle sur $c_{00}$, on peut l'étendre à un fonctionnel $f\in c_0^*$en utilisant le théorème de Hahn-Banach. Ici, l'extension signifie que$f(x)=g(x)$ pour tous $x\in c_{00}$. Cela implique$F(f)=g$, Et ainsi $F$ est surjectif.