classes de conjugaison de $GL(3,\mathbb{Z}_p)$

Question

Combien de classes de conjugaison le groupe $GL(3,\mathbb{Z}_p)$ avoir, si $p$ est un prime?

Jusqu'à présent, j'ai un boudin inférieur (très large), en utilisant que le nombre de classes de conjugaison dans un groupe est au moins autant que le nombre d'éléments au centre. Maintenant, le centre d'un groupe est l'ensemble des éléments qui font la navette avec tous les autres éléments du groupe, et dans le cas de$GL(n,\mathbb{Z}_p)$les matrices scalaires sont les éléments avec cette propriété. Par conséquent, le nombre de classes de conjugaison de$GL(3,\mathbb{Z}_p)$ Est au moins $p−1$.

Aussi, j'ai remarqué que le nombre de classes de conjugaison est le nombre de cosets du centralisateur d'un élément du groupe, qui est le même que l'indice du centralisateur. Alors je pensais que je pourrais choisir un élément dans$GL(3,\mathbb{Z}_p)$et trouvez le centralisateur et son index. Suis-je sur la bonne voie?

Answer 1

Si deux matrices sont similaires, elles ont les mêmes polynômes caractéristiques $\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3$. Le nombre de ces polynômes est$p^2(p-1)$. Donc le nombre de classes de conjugaison est au moins$p^3-p^2$.

Mais en fait, le nombre est plus grand. Chaque matrice sur n'importe quel champ est similaire à une matrice diagonale de bloc unique dans la forme normale naturelle (parfois appelée régulière) (unique jusqu'à l'ordre des blocs). Les blocs correspondent aux diviseurs du polynôme caractéristique. Donc pour chaque polynôme de degré$3$comme ci-dessus, nous devons compter le nombre de formes normales possibles. Additionnez ensuite ces nombres et nous obtenons le nombre de toutes les classes de conjugaison.

Le calcul a été fait dans des livres de théorie classique des groupes (disons, dans Dickson) et, plus récemment, dans cet article . Le nombre total peut également être trouvé ici :

C'est égal à $p^3-p$.