Collage des champs vectoriels

Question

Laisser $M$ être une variété douce et $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$l'atlas lisse associé. J'ai des champs vectoriels lisses$X_i$ sur chaque $U_i$ tel que pour $i, j \in I$, $X_i$ et $X_j$ sont égaux sur $U_i \cap U_j$. Existe-t-il un théorème qui me permet de "coller" ces champs de vecteurs,$i.e.$ y a-t-il un champ vectoriel (unique) $X$ sur $M$ tel que $X\big|_{U_i} = X_i$? Merci beaucoup!

Answer 1

Oui, en fait, nous avons un résultat légèrement plus général, apparaissant dans l'Introduction de Lee aux Manifolds lisses 2e éd, comme suit:

Corollaire 2.8 (lemme de collage pour les cartes lisses) Soit$M$ et $N$ être des variétés lisses avec ou sans frontière, et laissez $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ être une couverture ouverte de $M$. Supposons que pour chaque$\alpha \in A$, on nous donne une carte fluide $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ de sorte que les cartes s'accordent sur les chevauchements: $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ pour tous $\alpha$ et $\beta$. Ensuite, il existe une carte lisse unique$F : M \to N$ tel que $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ pour chaque $\alpha \in A$.

Ceci est juste une conséquence du fait que si une carte $F: M \to N$ est localement lisse, alors la carte $F$ est lisse.