Comment simplifier cette formule [fermé]

Question

J'ai cette équation: $\frac{\sqrt{(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(-a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(a-b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})(a+b-\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma})}}{4}$

Il calcule l'aire d'un triangle en utilisant seulement 2 côtés d'un triangle $a, b$, et l'angle de ces côtés, $\gamma$. Il combine simplement la loi des cosinus et la formule de Heron. Existe-t-il un moyen d'atteindre la même fonction et est-il possible de simplifier cette équation?

Answer 1

Laisser $c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$ et $P_1,P_2,P_3,P_4$être les 4 facteurs à l'intérieur de la racine carrée. Remarquer

• $P_1 P_4 = (a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2 = 2ab(1+\cos\gamma)$,
• $P_2 P_3 = (-a+b+c)(a-b+c) = c^2-(a-b)^2 = 2ab(1-\cos\gamma)$

Nous avons $$\frac{\sqrt{P_1P_2P_3P_4}}{4} = \frac{\sqrt{(2ab)^2(1-\cos^2\gamma)}}{4} = \frac12 ab\sin\gamma$$

Answer 2

IMHO si vous avez commencé avec

$A = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$ avec $s = \frac{a+b+c}{2}$ et utilisé $\cos \gamma = \frac{a²+b²-c²}{2ab}$ comme défini par exemple ici: https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula

puis réécrit les calculs pour éviter d'utiliser $c$ en l'écrivant en fonction de $a$, $b$ et $ \gamma $cela devrait être bien et correct. As tu?