Composition de la continuité [Topologie]

Question

J'essaye de prouver la déclaration que j'ai faite moi-même.

Il existe trois espaces topologiques, $(X_1, T_1)$, $(X_2, T_2)$ et $(X_3, T_3)$. Mettre$G_i$ être un ensemble ouvert de chacun $(X_i, T_i)$

Dit le $f: (X_1, T_1) \to (X_2, T_2)$ et $g: (X_2, T_2) \to (X_3, T_3)$

Alors la déclaration ci-dessous tient-elle?

Déclaration) Les deux $f$ et $g$ sont continus $\iff $ $g\circ f : (X_1, T_1) \to (X_3, T_3)$ est continue.

Dans le cas de la direction "$\Rightarrow$"

$g\circ f$ est continu parce que $f^{-1}(G_1) \in T_1$ et $f^{-1}(G_2) \in T_2$ pour $\forall G_1, G_2$

Ainsi je pourrais facilement conclure le $(g\circ f)^{-1} (G_3) \in T_1$ (Ie continu)

Mais le cas de la direction opposée "$\Leftarrow$", Je n'ai attrapé ni idée le prouvant ni contre-exemple.

Toute aide serait appréciée Merci.

Answer 1

La réponse est "non", même si $g=f$. Considérer$\mathbb{R}$ avec la topologie euclidienne et

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ $$f(x)=\begin{cases} 1 &\text{if }x\geq 0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$$

et notez que $f$n'est pas continue. Mais$f(f(x))=1$ pour toute $x\in\mathbb{R}$ Et ainsi $f\circ f$ est continue.

Je laisse comme exercice (en peaufinant cet exemple) que $g\circ f$ être continu ne dit rien sur la continuité ni $g$ ni $f$.

Answer 2

Comme @Kavi Rama Murthy l'a dit dans commnet, vous pouvez voir $(g \circ f)$ peut être continuellement ignorant $f$, si $g$ être constant.

Pour un autre exemple, considérez $(X_1,T_1)$ avec topologie discrète, alors $(g \circ f)$ devient continuellement ignorant $g$.