Comprendre l'espace Fock

Question

Commençons par un espace de Hilbert à particule unique $H$ avec base $\{|\alpha\rangle\}$, où $\alpha$représente un ensemble complet de nombres quantiques. Si nous prenons maintenant deux particules du même type, nous devons considérer l'espace$$H_2=H_1\otimes H_1,$$ et plus généralement $n$ les particules vivent dans $$H^{\otimes n}=H_1\otimes...\otimes H_1.$$ L'espace Fock (libre) est maintenant défini en prenant la somme directe $$\mathcal{F(H)}:=\bigoplus_{n\ge 0} H^{\otimes n}.$$ Je comprends pourquoi on prend les produits tensoriels: on souhaite décrire tout le système de $n$particules en même temps. Cependant, je ne vois pas du tout pourquoi nous devons également prendre la somme directe. Quelle est son interprétation physique?

Answer 1

Considérez des particules identiques. Considérez également d'abord une seule particule dans votre système. Ce "secteur à 1 particule" est décrit par l'espace de Hilbert$H_1$. C'est le premier terme,$n=1$, dans la somme directe que vous avez écrite. ($n=0$peut être probablement ignoré.) Considérons maintenant deux particules. L'espace de Hilbert de ce système est$H_1 \otimes H_1$. C'est le deuxième terme de la somme directe. Etc. Les secteurs avec différents nombres de particules sont indépendants et vous prenez donc la somme directe sur eux.