Comprendre le concept d '«attribution de vérité».

Question

Travailler sur le livre: Derek Goldrei. " Calcul propositionnel et prédicat " (p. 40)

L'auteur introduit brièvement le concept de fonction v :

Nous avons parlé de manière informelle de savoir si, dans un ensemble particulier de circonstances, chaque variable propositionnelle est vraie ou fausse. Plus formellement et plus élégamment, cet ensemble de circonstances est une fonction$v \colon P \to \{T,F\}$, où $P$ est l'ensemble des variables propositionnelles dans notre langage.

Avant d'introduire le concept d' attribution de vérité , explique:

Laisser $Form(P, S)$ être l'ensemble de toutes les formules construites à partir de variables propositionnelles dans un ensemble $P$ utilisation de connecteurs dans un ensemble $S$ qui inclut $\land$. On dira qu'une fonction$v \colon Form(P,S) \to \{T,F\}$ respecte la table de vérité $\land$ si $$ v((\theta \land \psi))= \begin{cases} T, &\text{if } v(\theta))=v(\psi)=T\\ F, &otherwise, \\ \end{cases} $$ pour toutes les formules $\theta, \psi \in Form(P,S)$.

Je vois comment fonctionne $v$ respecte la table de vérité de $\land$. Ma question est:

• De quelle manière est la valeur de vérité de $v(\theta)$ et $v(\psi)$ déterminé dans cette fonction par morceaux?
• Quels sont les critères pour décider si $v(\theta)$ (ou toute variable propositionnelle) va être $T$ ou $F$ ?

Answer 1

Voir Dirk van Dalen, Logic and Structure (5e éd., 2013) , page 17 pour la définition et le résultat de base:

"Si une évaluation n'est donnée que pour les atomes, alors il est, en vertu de la définition par récursivité, possible de l'étendre à toutes les propositions."

Qu'est-ce qu'une évaluation ? Simplement une fonction:$v : \text {PROP} \to \{ 0,1 \}$,

où [voir page 7 ]$\text {PROP} = \{ p_0, p_1, \ldots \}$est la collection de symboles de proposition .

État de côté : van Dalen utilise$\bot$ et considérez-le comme un $0$-ary connective. Ainsi, il a besoin de la clause: pour chaque évaluation$v$ nous devons avoir: $v(\bot)=0$.

Exemples stupides de valorisations:

$v(p_i)=0$, pour chaque $i$; $v'(p_i)=1$, pour chaque $i$.

Commencer par un devoir $v$, nous pouvons facilement montrer comment les tables de vérité pour les connecteurs de base [voir page 18 ] nous donnent la recette pour calculer la valeur de vérité d'une formule$\varphi$ peu importe.

Considérez la formule $((p_0 ∧ p_1) → (\lnot p_0))$[similaire à l'exemple utilisé dans votre article précédent ] et construisez la table de vérité habituelle:

$$\begin{array}{c|c|c} p_0&p_1&(p_0 \land p_1)&(\lnot p_0)&((p_0\land p_1)\to(\lnot p_0))&\\\hline 1&1&1&0&0\\ 1&0&0&0&1\\ 0&1&0&1&1\\ 0&0&0&1&1\\ \end{array}$$

Considérons maintenant l'évaluation suivante: $v(p_0)=0$ et $v(p_1)=1$. Cela équivaut simplement à la troisième ligne du tableau ci-dessus.

Remarque : comme on peut l'imaginer [mais on peut le prouver: voir le lemme 2.2.3 , page 18], ce qui importe, c'est seulement la valeur que la valorisation attribue aux symboles propositionnels apparaissant dans la formule.

La "recette" est:

(je) $v(p_0)=0$; Donc$v[(\lnot p_0)]=1$.

(ii) $v(p_0)=0$ et $v(p_1)=1$; Donc$v[(p_0 \land p_1)]=0$.

(iii) $v[(p_0 \land p_1)]=0$ et $v[(\lnot p_0)]=1$; Donc$v[((p_0 \land p_1)\to (\lnot p_0))]=1$.

Remarque : en calculant la valeur de vérité de la formule, nous avons suivi la séquence de formation [voir Définition 2.1.4 , page 9] de la formule:

$p_0, p_1, (p_0 \land p_1), (\lnot p_0), ((p_0 \land p_1)\to (\lnot p_0))$.

Answer 2

En fin de compte, la valeur de vérité $v(\varphi)$ de n'importe quelle formule $\varphi$ est déterminé par les valeurs de vérité qui $v$ affecte la variable propositionnelle apparaissant dans $\varphi$. Considérez, par exemple, la formule suivante$\varphi$:

$$(p\land\neg q)\lor(r\land q)\to p$$

Si $v(p)=F$, $v(q)=T$, et $v(r)=F$, puis:

• $v(\neg q)$ doit être $F$ afin de respecter la table de vérité pour $\neg$;
• $v(p\land\neg q)$ doit alors aussi être $F$ afin de respecter la table de vérité pour $\land$;
• $v(r\land q)$ doit être $F$ pour la même raison;
• $v\big((p\land\neg q)\lor(r\land q)\big)$ doit être $F$ afin de respecter la table de vérité pour $\lor$; et enfin
• $v(\varphi)$ doit être $T$ afin de respecter la table de vérité pour $\to$.

Si nous changeons la valeur de vérité de $r$ en définissant $v(r)=T$, il faut alors avoir $v(r\land q)=T$, $v\big((p\land\neg q)\lor(r\land q)\big)=T$, et $v(\varphi)=F$.

Dans la pratique, les affectations de vérité sont très souvent présentées sous la forme de tableaux montrant les valeurs de vérité attribuées à une formule particulière sous toutes les affectations possibles de valeurs de vérité à ses variables propositionnelles. Dans ce cas, nous aurions le tableau suivant, et nous pourrions lire cela$v(\varphi)=T$ pour toutes les missions de vérité à $p,q$, et $r$ sauf celui mentionné immédiatement ci-dessus, celui de la cinquième ligne du tableau:

$$\begin{array}{c|c|c} p&q&r&p\land\neg q&r\land q&(p\land\neg q)\lor(r\land q)&\varphi\\\hline T&T&T&F&T&T&T\\ T&T&F&F&F&F&T\\ T&F&T&T&F&T&T\\ T&F&F&T&F&T&T\\ F&T&T&F&T&T&F\\ F&T&F&F&F&F&T\\ F&F&T&F&F&F&T\\ F&F&F&F&F&F&T \end{array}$$