Comprendre le modèle de correction d'erreur

Question

J'ai plusieurs problèmes intuitifs avec le modèle de correction d'erreur. J'écrirai ci-dessous comment je comprends la dérivation du modèle ECM avec mes requêtes.

Laisser $I(y_t)=I(X_t)=1$ et considérez le modèle: $$y_t=\alpha_0+\alpha_1y_{t-1}+\beta_0x_t+\beta_1x_{t-1}+u_t$$ Maintenant remplacez $y_{t-1}$.

$$\Delta y_t= \alpha_0+p_1y_{t-1}+\beta_0x_t+\beta_1x_{t-1}+u_t$$

Après cela, dans la bonne vue de l'équation, nous ajoutons $\beta_0x_{t-1}-\beta_0x_{t-1}$ obtenir

$$\Delta y_t= \alpha_0+p_1y_{t-1}+\beta_0\Delta x_t+\theta_1x_{t-1}+u_t$$Maintenant, nous devons réfléchir pendant un moment. Car$I(y_t)=1$ nous avons la stationnarité de la variable $\Delta y_t$. La même justification que nous pouvons appliquer à la variable$\Delta x_t$. En termes de cette façon de penser, nous avons l'équivalence suivante:$$y_t \; \text{and} \; x_t \; \text{cointegrated} \Leftrightarrow u_t \text{stationary}$$

Pour tester la stationnarité de $u_t$nous pouvons utiliser certains tests. Le test ADF est le plus populaire. Après avoir revendiqué la cointégration, nous suivons l'algorithme:

(1) Estimer notre modèle de régression linéaire $y_t=c+\beta x_t+u_t$

(2) Extrait $u_{t-1}=(y_{t-1}-c-\beta x_{t-1})$ du modèle (1)

(3) Créer un nouveau modèle en utilisant une forme équivalente de $u_t$ dérivé à l'étape (2) $\Delta y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta x_t + \beta_2 u_{t-1}+\epsilon_t=\beta_0+\beta_1 \Delta x_t +\beta_2(y_{t-1}-c-\beta x_{t-1})$

Et le modèle dérivé au point (3) est le modèle de correction d'erreur final que nous devrions utiliser. J'ai plusieurs questions à ce sujet

(1) Qu'est-ce qui est exactement variable $y_{t-1}$? Disons que y est un vecteur créé par des nombres de 1 à 100. Que signifie exactement$y_{t-1}$? Ça ne peut pas être juste des nombres de 1 à 99 parce qu'alors$y_t$ et $y_{t-1}$ ont des longueurs différentes et le modèle ne peut pas être créé (le tout premier)

(2) Pourquoi nous dérivons le modèle ecm après avoir prétendu la stationnarité de $u_t$? Si$x_t$ et $y_t$ est cointégré pourquoi nous n'utilisons pas seulement le modèle standard $y_t=\alpha_0+\alpha_1 x_t +\epsilon_t$? Je comprends qu'ECM vaut mieux que simplement$\Delta y_t= \alpha_0 + \alpha_1 \Delta x_t + \epsilon_t$ mais je n'ai pas trouvé d'explication pourquoi il est meilleur que le modèle standard.

(3) Quelle est exactement l'interprétation de $\beta_2$ dans l'ECM (valeur à côté de $u_{t-1})$? Qu'est-ce que cela signifie quand$\beta_2$ est grand ou petit?

(4) L'ECM peut-il être appliqué uniquement à la régression univariée?

Answer 1

Je vais répondre très brièvement. La plupart de vos questions trouvent une réponse dans les textes de Lutkephol ou Banerjee & Dolado.

1. La raison de la création d'un ecm est que le terme d'erreur d'origine, $\epsilon_t$, dans la régression d'origine n'est pas stationnaire. Dans vos dérivations, vous n'avez jamais changé le terme d'erreur de$\epsilon_t$ à $u_t$et a écrit la même chose à chaque fois. Ce n'est que lorsque vous faites l'équation I (0) des deux côtés que le terme d'erreur TRANSFORMÉ devient stationnaire. En outre, il faut tester la non-stationnarité de$\epsilon_t$ en utilisant l'ADF ou un autre test.

2. Oui, on perdra un point de données dans l'ECM car $y_t$ est un côté et $y_{t-1}$est de l'autre. Il n'y a pas grand-chose à faire à ce sujet. Ainsi, si vous avez 100 points de données, l'ECM se compose de 99 équations.

3. $\beta_2$mesure la quantité de réversion de niveau à chaque étape. Alors, quelle est la différence entre$y_{t-1}$ et (c + $x_{t-1}$) cause $y_t$ pour se détendre dans l'autre sens.

4. Le VECM est l'analogue multivarié de l'ECM. Je vérifierais Lutkepohl pour ça.

C'est évidemment une réponse brève. Les détails sanglants sont dans les textes mentionnés. J'espère que cela a aidé certains, mais je recommande de lire ces textes ou au moins une partie d'entre eux.