Connexion sur le bundle pullback.

Question

Laisser $E\to N$ être un faisceau vectoriel et $f:M\to N$être une carte fluide. Le pullback$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ est alors défini par $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ avec $x\in M$ et $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Première question : comment réécrire ce pullback sous forme de carte$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Mon problème est que$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ est bien défini tant que $f$est un difféomorphisme. cependant,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ est en fait bien défini.

Ensuite, je sais que la connexion $f^*\nabla$ sur $f^*E\to M$ est uniquement déterminé par $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Deuxième question: dans certains livres, j'ai vu la notation$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ mais tant que $f$ n'est pas un difféomorphisme $df(X)$ n'est pas un champ vectoriel sur $N$ donc ça n'a pas de sens d'écrire $\nabla_{df(X)}$. Comment puis-je résoudre ce problème?

Answer 1

Pour écrire globalement le pullback sous forme de carte de modules, vous devez diviser la construction en deux parties. Pour rendre tout moins confus, laissez-moi désigner par$f^{\star}(E)$ le bundle pullback et dénoté par $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ champs de vecteurs le long $f$. Ainsi, les cartes et constructions impliquant$\star$ n'ont rien à voir avec le dérivé alors que les cartes impliquant $*$inclure le dérivé. Maintenant,

1. Donné une forme $\omega \in \Omega^k(N,E)$, on obtient un élément $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ donné par $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ où $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ sont des champs vectoriels le long de $f$ de sorte que $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$et la formule a du sens. Globalement, cela correspond à une carte alternée de$C^{\infty}(M)$-modules $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. De plus, vous avez la carte $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. ensuite$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

Concernant la deuxième question, la formule $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ est censé être compris localement comme $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Cela a du sens même quand $f$ n'est pas un difféomorphisme comme connexion $\nabla_X(s)$ est tensoriel dans le $X$variable. Vous pouvez également comprendre la formule globalement en divisant la construction de la connexion de retrait en deux parties:

1. Il y a une carte $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ donné par $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. La connexion pullback $f^{*}(\nabla)$ est la connexion unique $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ qui satisfait $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$