Convergence des variations quadratiques
Cela peut être une question fondamentale sur une théorie martingale.
Laisser $n \in \mathbb{N}$ et $M^n=(M^{n,1},\ldots,M^{n,d})$ être un $d$-martingale intégrable carrée dimensionnelle sur un espace de probabilité avec mesure de probabilité $P_n$. Chaque$M^n$ peut ne pas être continue.
Nous désignons par $E_n$ l'attente sous $P_n$. Nous supposons que pour tout$t \in [0,1]$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty}E_n\left[\left|[M^{n,i},M^{n,j}]_t - \delta_{i,j}t\right|\right]=0. \end{align*} Alors, pouvons-nous montrer que la loi de $M^n$ converge faiblement vers celle d'un $d$-mouvement brownien dimensionnel en $D([0,1])$? Ici,$D([0,1])$ est l'espace des fonctions continues à droite avec des limites à gauche finies avec une topologie Skorohod.
Cela peut être vrai. Cependant, je n'en ai pas la preuve.
Veuillez me donner une référence.
Réponses
Pour une séquence $ M^n=\{M_t^n, t\in [0,1] \} $ de martingales carrées intégrables, la conclusion de $ M^n\overset{D([0,1])}{\longrightarrow}\mathrm{BM} $ de $ [M^n]_t\to t, t\in [0,1] $peut ne pas être vrai. En p.476 du livre: Jacod, J. et AN Shiryayev, Limit Theory for Stochastic Processes , 2ed. Springer, 2003, il existe un exemple pour montrer la condition ($ [M^n]_t\to t, t\in [0,1] $) c'est insuffisant. Toujours à la page 473 du même livre, le théorème 3.11 explique que si$ |\Delta M^n|\le K $, alors la conclusion est OK. Généralement, pour garantir$ M^n\overset{D([0,1])}{\longrightarrow}\mathrm{BM} $, restriction supplémentaire sur $|\Delta M^n|$ (semblable à l'état de Lindeberg) est nécessaire.
Pour ajouter un peu à la réponse précédente, si l'on formule la question en termes de crochet angulaire (une question plus naturelle dans certains contextes) au lieu du crochet carré, l'énoncé n'est pas non plus vrai. Même pas quand$M_n = M$ pour tous $n$ et $\langle M \rangle_t = t$.
Une martingale $M$ avec trajectoires cadlag et variation quadratique $\langle M \rangle_t = t$ ne doit pas être un mouvement brownien standard --- prendre $M_t$ être le processus de Poisson compensé $N_t - t$ où $N_t$ est le processus de Poisson avec intensité $1$. Cependant, la prise en compte de ce contre-exemple conduirait à une condition suffisante pour le moment où l'énoncé tient, sous faible convergence sur$D[0,1]$.
Le problème est de savoir si $M$a la même distribution dimensionnelle finie que le mouvement brownien, puisque le critère de continuité de Kolmogorov donne une version avec des chemins d'échantillons continus une fois que cela est satisfait. Avoir le bon premier moment et la bonne variation quadratique / "second moment infinitésmal" ne suffit pas pour garantir la même distribution dimensionnelle finie que le mouvement brownien.
Supposer $\langle M \rangle_t = t$ et cela $M$ a des incréments indépendants --- par exemple $M_t = N_t - t$. (Le cas général de la martingale n'est pas si différent; il faut remplacer les moyens inconditionnels par des moyens conditionnels.)
$M$ a la même distribution dimensionnelle finie que le mouvement brownien si et seulement si $$ \phi_{\lambda}(t) = E[e^{i \lambda M_t}] = e^{-\frac12 \lambda^2 t}, $$ ou
$$ \frac{d}{dt} \phi_{\lambda}(t) = -\frac12 \lambda^2 \phi_{\lambda}(t), \; \phi_{\lambda}(0) = 1. $$ Cet ODE signifie que, pour un petit incrément $\Delta_h = M_{t+h} - M_t$, nous devons avoir $$ E[e^{i \lambda \Delta_h}] = E[ 1 + i \lambda \Delta_h - \frac12 \lambda^2 \Delta_h^2 + \cdots ] = 1 - \frac12 \lambda^2 h + r(h), \quad \quad (*) $$ où le reste du terme $r(h) = o(h)$, c'est-à-dire qu'il doit disparaître plus vite que $h$. Ce n'est pas vrai en général. Par exemple pour le processus$N_t - t$, on peut calculer directement $$ E[e^{i \lambda \Delta_h}] = e^{-\frac12 \lambda^2 h + O(h)} = 1 - \frac12 \lambda^2 h + O(h). $$ Le reste du terme est $O(h)$ et pas $o(h)$, et $N_t - t$ n'a pas la même distribution dimensionnelle finie que le mouvement brownien.
Une condition standard suffisante pour que le reste $r(h)$ dans $(*)$ être $o(h)$ est-ce que pour tous $t$, $$ \lim_{\alpha \rightarrow \infty} \limsup_{h \rightarrow 0} E[ \frac{ \Delta_h^2 }{h} \cdot 1_{ \{ \frac{ \Delta_h^2 }{h} > \alpha \} } ] = 0. \quad \quad (**) $$ La condition d'intégrabilité uniforme $(**)$ est une sorte de version infinitésmale de la condition de Lindeberg pour les CLT.
Commentaires du couple:
Chaque martingale locale $M$avec des chemins continus et$\langle M \rangle_t = t$doit être un mouvement brownien standard (théorème de Levy). Dans le contexte de cette discussion, cela dit que la continuité du chemin de l'échantillon garantit que$r(h)$ dans $(*)$ est $o(h)$--- en effet, c'est le lemme d'Ito pour les martingales locales continues. Le requiert la propriété martingale, à savoir que$\int d \langle M \rangle_t$ sur un intervalle peut être approximé par la somme de $\Delta_h^2$c'est comme $h \rightarrow 0$ lorsque les chemins sont continus.
Citant à nouveau le lemme d'Ito, $(*)$peut être refondu en termes de générateur infinitésmal. Une martingale est un mouvement brownien si et seulement si son générateur infinitésmal est$\frac{d^2}{dx^2}$.
Avec une séquence $\{ M_n, n \geq 1\}$--- Premièrement, il n'y a ni besoin ni raison de supposer chaque $M_n$est une martingale. Voir, par exemple, diverses versions du théorème de limite central fonctionnel où les sommes partielles de séquences dépendantes (mélange fort / mixage / etc.) convergent faiblement vers le mouvement brownien. La condition martingale doit seulement tenir "dans la limite".
Deuxièmement, l'étanchéité doit être prise en compte. Une hypothèse distincte doit être faite pour que$\{ M_n, n \geq 1\}$ est serré $D$. Ensuite, une condition suffisante standard qui garantit que la limite faible est le mouvement brownien est à nouveau$(**)$, étendu de manière appropriée à des séquences d'éléments aléatoires sur $D[0,1]$. Une discussion détaillée se trouve dans la section 19 de Convergence des mesures de probabilité de Billingsley.