Courbe dans une sphère

Question

Laisser $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$être une courbe régulière. S'il existe un point$P\in\mathbb{R}^3$ telle que la ligne qui passe $P$ et $\alpha(t)$ est perpendiculaire à la tangente à $\alpha$ dans l'instant $t$ pour toute $t$, puis la trace de $\alpha$ est contenu dans une sphère.

Comme $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ et $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, puis

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ pour certains $c\geq0$.

Est-ce correct? Comment pourrais-je le résoudre sans intégrer?

Answer 1

Vous n'avez même pas besoin de connaître le concept d'intégration! Utilisez juste ce fait que$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$pour chaque $t$, d'où il résulte que $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ est constante.