Couverture des mesures de probabilité discrètes

Question

Laisser $\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ dénotent l'ensemble des mesures de probabilité sur $\mathbb{R}$ pour le formulaire $\sum_{i=1}^n k_i \delta_{x_i}$ où $k_i>0$. Puis n'importe quelle mesure dans$\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ est à l'image de la carte sur $\Delta_n \times \mathbb{R}^n$, où $\Delta_n$ est à l'intérieur du $n$-simplex (c'est-à-dire: $k_1,\dots,k_n \in (0,1)$ avec $\sum_{i=1}^n k_i =1$, prenant $(k_1,\dots,k_n)\times (x_1,\dots,x_n)$ à $\sum_{i=1}^n k_j \delta_{x_i}$. Il est clair que cette carte est continue, lorsque$\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ est équipé de la métrique Prokhorov.

Cependant, est-ce une carte de couverture ? Je n'ai pas pu le réfuter alors je pense que c'est peut-être ...?

Answer 1

Cette carte n'est pas une couverture, car les pré-images des ensembles de singleton sous cette carte ne sont pas de la même cardinalité. Par exemple, la cardinalité de la pré-image de l'ensemble singleton$\{\frac1n\,\sum_{j=1}^n\delta_j\}$ est $n!$, alors que la pré-image de l'ensemble singleton $\{\delta_0\}$ est d'une cardinalité infinie.

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À partir du site auquel vous avez lié: "[pour une carte de couverture $f\colon X\to Y$,] le nombre cardinal de $f^{-1}(y)$ (qui est peut-être infini) est indépendant du choix de $y$ dans $Y$. "