De la désintégration au conditionnement

Sep 21 2020

Il y a un article «Le conditionnement comme désintégration» par JT Chang et D. Pollard , qui semble construire la probabilité conditionnelle régulière à partir de la désintégration . En particulier, à partir de la définition 1, du théorème 1 et du théorème 2. (iii) de cet article, nous pouvons résumer un théorème comme suit:

Théorème. Laisser$\Omega$ être un espace polonais, $\mathcal F = \mathcal B(\Omega)$ être le Borel $\sigma$-field pour $\Omega$, et $\mathbf P$ être une mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal F)$. Laisser$(E,\mathcal E)$ être un espace mesurable, avec $\mathcal E$généré de manière dénombrable et contenant tous les ensembles de singleton. Laisser$X:(\Omega,\mathcal F) \to (E,\mathcal E)$être un élément aléatoire. Dénoter par$P_X := X_*\mathbf P = \mathbf P\circ X^{-1}$ la mesure directe de $X$ sur $(E,\mathcal E)$. Puis il y a une famille$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ des mesures de probabilité sur $(\Omega,\mathcal F)$, tel que:

Pour chaque $x\in E$, la mesure de probabilité $\mathbf P^x$ se concentre sur l'événement $\{X = x\}$.

Pour tous $A\in\mathcal F$, la cartographie $\mathbf P^\cdot(A): (E,\mathcal E)\to [0,1]$ est mesurable.

Pour tous $A\in\mathcal F$ et $B\in\mathcal E$, \ begin {équation} \ mathbf P \ left (A \ cap X ^ {- 1} (B) \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ x (A) P_X (dx). \ end {equation} De plus, la famille$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ est déterminé de manière unique jusqu'à une équivalence presque sûre: si $\{\mathbf Q^x\}_{x\in E}$ est une autre famille de mesure de probabilité sur $(\Omega,\mathcal F)$qui satisfait les conditions ci-dessus, alors \ begin {équation *} P_X \ {x \ in E: \ mathbf P ^ x \ ne \ mathbf Q ^ x \} = 0. \ end {équation *}

Voici le problème .

Considérez le cas particulier que $E=\Omega$ et $\mathcal E$ est un sous-$\sigma$-domaine de $\mathcal F$qui contient tous les singletons. Depuis$\Omega$ est deuxième dénombrable, son Borel $\sigma$-champ $\mathcal F$doit être généré de manière dénombrable et contenir tous les singletons . En tant que sous-$\sigma$-domaine de $\mathcal F$, $\mathcal E$est également généré de manière dénombrable. Laisser$X = \mathrm{Id}$. ensuite$P_\mathrm{Id} = \mathbf P$ et $\sigma(\mathrm{Id}) = \mathcal E$. Maintenant, toutes les hypothèses du théorème sont remplies. Par conséquent, nous obtenons un$\mathbf P$-en tant que famille unique de mesures de probabilité $\{\mathbf P^\omega\}_{\omega\in\Omega}$ sur $(\Omega,\mathcal F)$ satisfaisant:

Pour chaque $\omega\in\Omega$, la mesure de probabilité $\mathbf P^\omega$ se concentre sur le singleton $\{\omega\}$.
Pour tous $A\in\mathcal F$, la cartographie $\mathbf P^\cdot(A): (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ est mesurable.
Pour tous $A\in\mathcal F$ et $B\in\mathcal E$, \ begin {équation} \ mathbf P \ left (A \ cap B \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ \ omega (A) \ mathbf P (dx). \ end {équation}

Les énoncés 2 et 3 sont complètement les mêmes que la formulation de la probabilité conditionnelle , c'est-à-dire$\mathbf P^\omega(A) = \mathbf P(A\mid \mathcal E)(\omega)$. Cependant, si nous les combinons avec l'instruction 1, il y a quelque chose d'assez étrange. En effet, depuis$\mathbf P^\omega$ se concentre sur $\{\omega\}$, nous avons $\mathbf P^\omega(A) = \mathrm{1}_A(\omega)$ pour tous $A\in\mathcal F$, alors que cela ne devrait être valable que pour $A\in\mathcal E$ depuis $\mathbf P^\omega$ est la probabilité conditionnelle par l'énoncé 3. En outre, le mappage $\mathbf P^\cdot(A) = \mathrm{1}_A: (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ n'est mesurable que pour $A\in\mathcal E$, mais pas pour tous $A\in\mathcal F$ revendiqué dans la déclaration 2.

Alors, où est-ce que ça va mal? Tous les commentaires ou conseils seront appréciés. TIA ...

EDIT: Voici quelques remarques supplémentaires:

Je viens de prétendre que "en tant que sous-$\sigma$-domaine de $\mathcal F$, $\mathcal E$est également généré de manière dénombrable ". C'est faux. Voir par exemple ici pour un contre-exemple.
Grâce au commentaire de @aduh, le problème se résume à savoir s'il doit être $\mathcal E = \mathcal F$? ou existe-t-il un sous-$\sigma$-domaine de $\mathcal F$qui est généré de manière dénombrable et contient tous les singletons? Je posterai cela comme une autre question Math.SE .

Conclusion: selon mes hypothèses,$\mathcal E$ doit coïncider avec $\mathcal F$. Le problème est donc trivial. Voir la réponse acceptée donnée par @GEdgar dans la "autre question" que j'ai mentionnée pour plus de détails.

Réponses

1 Dreamer Sep 22 2020 at 06:58

Je poste ici une réponse pour l'intégrité.

Comme dit dans la partie Conclusion à la fin de la question, nous pouvons prouver$\mathcal E = \mathcal F$en suivant les lignes de @GEdgar . Plus précisément, nous pouvons prouver le théorème suivant:

Théorème. Laisser$\Omega$ être un espace polonais, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ être le Borel $\sigma$-field pour $\Omega$. Si$\mathcal E\subset \mathcal F$ est un sous-produit généré de manière dénombrable$\sigma$-field contenant tous les ensembles singleton, alors $\mathcal E = \mathcal F$.

Le théorème est trivial tant que nous connaissons le lemme suivant, qui est adapté du théorème 3 et du théorème 1 dans l' article de D. Blackwell "Sur une classe d'espaces de probabilité" , ainsi que les deux faits qu'un espace polonais est analytique lui-même et que les atomes dans un espace polonais ne sont que des singletons.