Dérivée d'une fonction différentiable

Question

Étant donné une fonction $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ tel que $f$ est différenciable en $(a,b)$ et continue à $0$ et $1$. Laisser$g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ être la ligne qui passe à travers $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$. Je me demandais comment montrer cela pour chaque$s \notin [a,b]$, il existe $t \in [a,b]$ telle que la ligne tangente de $f(x)$ à ce point $(t,f(t))$ passe à travers $(s,g(s))$? (Je pensais utiliser le théorème de la valeur moyenne, mais je n'ai pas réussi à le prouver en utilisant uniquement MVT.)

Answer 1

WLOG, $f(a)=f(b)=0$ parce que nous pouvons soustraire de $f$une fonction linéaire sans casser la condition de tangence. Considérons maintenant la fonction auxiliaire

$$\frac{f(t)}{t-s}$$ qui a le dérivé

$$\frac{f'(t)(t-s)-f(t)}{(t-s)^2}$$ annulation où

$$f'(t^*)=\frac{f(t^*)}{t^*-s}$$ et appliquer le théorème de Rolle.