Descente la plus raide avec variation lente

Question

Supposons que l'on ait une intégrale de la forme $$ \int_{\mathbb{R}} g(x) e^{\lambda f(x;\lambda)} $$ où $f(x;\lambda) = f_0(x) + f_1(x;\log(\lambda))/\lambda $ et $f_1$ dépend lentement de $\lambda$dans le sens où il peut croître au plus polynomialement dans son argument. Est-il vrai que, comme$\lambda\to \infty$, $$ \int_{\mathbb{R}} g(x) e^{\lambda f(x;\lambda)}dx \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda |f_0''(x_0)|}}g(x_0)e^{\lambda f_0(x_0)}, $$ où $x_0$ est un point fixe unique de $f_0(x)$, c'est-à-dire que les asymptotiques sont d'accord avec celles qui remplacent $f(x;\lambda)$ avec $f_0(x)$?

Answer 1

Vous pouvez faire appel au théorème suivant d'Olver ( Asymptotiques et fonctions spéciales , chapitre 9, section 2, théorème 2.1). Vous devez décaler le point stationnaire$x_0$ à l'origine, divisez l'intégrale en $x=0$ en deux intégrales séparées, et finalement couper les intégrales en points finis et montrer (de la manière habituelle) que les contributions des queues sont négligeables.

Théorème. Laisser$k$ et $\Lambda$ être des nombres positifs fixes, et $$ I(\lambda ) = \int_0^k {g(x,\lambda) e^{\lambda f_0 (x) + f_1 (x,\lambda )} dx} . $$ Suppose que

(je) $f'_0 (x)$ est continue et négative dans $(0,k]$, et comme $x\to 0+$ $$ f_0 (x) = f_0(0) + F_0 x^\alpha + \mathcal{O}(x^{\alpha _1 } ),\quad f'_0 (x) = \alpha F_0x^{\alpha - 1} + \mathcal{O}(x^{\alpha _1 - 1} ), $$ où $F_0<0$ et $\alpha _1 > \alpha > 0$.

(ii) Pour chaque$\lambda \in [\Lambda,\infty)$, les fonctions réelles ou complexes $f_1(x,\lambda)$ et $g(x,\lambda)$ sont continus dans $0 < x \leq k$. en outre $$ \left| {f_1 (x,\lambda )} \right| \le F_1 x^\beta \lambda ^\varepsilon ,\quad \left| {g(x,\lambda ) - G_0 x^{\gamma - 1} } \right| \le G_1 x^{\gamma _1 - 1} \lambda ^\delta , $$ où $F_1,\beta,\varepsilon,G_0,\gamma,G_1,\gamma_1$ et $\delta$ sont indépendants de $x$ et $\lambda$, et $$ \beta \geq 0,\quad \gamma>0, \quad \gamma_1>0,\quad \varepsilon <\min(1,\beta/\alpha),\quad \delta < (\gamma_1-\gamma)/\alpha. $$

Puis $$ I(\lambda ) = \frac{{G_0 }}{\alpha }\Gamma\! \left( {\frac{\gamma }{\alpha }} \right)\frac{{e^{\lambda f_0 (0)} }}{{(|F_0| \lambda )^{\gamma /\alpha } }}\left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{{\lambda ^{\varpi /\alpha } }}} \right)} \right) $$ comme $\lambda \to +\infty$, où $$ \varpi = \min(\alpha_1-\alpha,\beta-\alpha \varepsilon,\gamma_1-\gamma-\alpha\delta).$$