Déterminer la transformée de Fourier
On me donne la transformée de Fourier de $f$ par $\widehat{f}(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^{4}}$ et doivent déterminer la transformée de Fourier $\widehat{g}$ de $g(x) = f(x) \cos(2 \pi x)$.
J'ai essayé de reconstruire $f$ de sa transformée de Fourier telle que $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\xi)e^{2 \pi i x \xi}d\xi$ puis en utilisant $f$ pour calculer directement la transformée de Fourier de $g$ donné par $\widehat{g}(\xi) = \int_{- \infty}^{\infty} g(x)e^{-2 \pi i x \xi}dx$.
Mais je suis toujours coincé sur ces intégrales. Y a-t-il peut-être une identité / astuce qui fonctionne autour des calculs directs?
Réponses
Laisser $$\mathcal{F}{f}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-2\pi isx }dx$$Nous avons $$\mathcal{F}(fg) = \mathcal{F}{f}*\mathcal{F}g$$Où $*$désigne la convolution. Nous avons aussi$$\mathcal{F}\cos 2\pi a t = \frac{1}{2}(\delta(s-a)+\delta(s+a))$$ Ici $a = 1$ et le résultat est $$\mathcal{F}g(s) = (\frac{1}{2}(\delta(s-1)+\delta(s+1)))*\frac{1}{1 + s^{4}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+(s-1)^4} + \frac{1}{1+(s+1)^4})$$
Avant quelques commentaires ajoutant un peu de contexte à l'approche très efficace de @ SHW, il peut être intéressant de donner un argument (iconique!) Plus facile à justifier:
Puisque le cosinus est une combinaison linéaire d'exponentielles complexes, il suffit d'évaluer $\int_{-\infty}^\infty { e^{itx}\over 1+x^4 }dx$ pour de vrai $t$. Il existe deux cas, selon le signe de$t$. Pour$t\ge 0$, la fonction $z\to e^{itz}$est délimité dans le demi-plan supérieur . Ainsi, comme$R\to +\infty$, l'intégrale de $e^{itz}/(1+z^4)$ sur un demi-cercle dans le demi-plan supérieur, de rayon $R$, va à $0$, par des estimations faciles. L'intégrale sur cet arc auxiliaire, avec l'intégrale le long$[-R,R]$ sur la vraie ligne, est $2\pi i$fois la somme des résidus à l'intérieur du contour fermé résultant. Celles-ci se produisent exactement à$z=e^{2\pi i/8}$ et à $z=e^{2\pi i\cdot 3/8}$...
Pour $t\le 0$, nous devons utiliser un arc dans le demi-plan inférieur, car c'est là que $z\to e^{itz}$ est bornée, de sorte que l'intégrale sur l'arc auxiliaire passe à $0$, et le théorème des résidus est facilement appliqué.
La conversion de produits en convolutions par transformée de Fourier est souvent une très bonne heuristique, dans la mesure où elle regroupe utilement certains calculs standards. Mais, oui, il y a des risques, en particulier dans la délimitation des limites d'applicabilité des idées. Pour commencer, oui, comment calculer les transformées de Fourier de fonctions comme$e^{iz}$ ou $\cos(z)$, quand les intégrales ne convergent pas du tout? Eh bien, un sens étendu donne (prouvé) des réponses auto-cohérentes (comme utilisé dans la discussion de @ SHW), et donne parfois une voie de calcul plus économique.
Certains des risques potentiels incluent le calcul de convolutions pour des fonctions non classiques, c'est-à-dire non définies par point, puisque les intégrales ne peuvent pas être des intégrales littérales. Un autre risque concerne l'associativité de la convolution: elle échoue définitivement même dans des situations banales, telles que l'emblématique$$ (1*\delta')*H \;=\; 0 * H \;=\; 0\;\not=\; 1\;=\; 1 * \delta \;=\; 1 * (\delta' * H) $$ où $1$ est la fonction identique et $H$ est la fonction step de Heaviside.
EDIT: une liste non exhaustive de situations dans lesquelles la transformée de Fourier convertit les produits en convolutions:
Pour les fonctions de Schwartz (mappées à elles-mêmes par transformée de Fourier), cette propriété est vraie et nous avons l'associativité. Au-delà de ce cas, les choses ne peuvent pas rester entièrement symétriques. Par exemple, dans le contre-exemple iconique, toutes les distributions sont tempérées, donc elles ont des transformées de Fourier. Un obstacle que nous pourrions prévoir est que si$f,g$ ne peuvent pas être multipliés par point, ce qui pourrait se produire en partie parce qu'ils n'ont pas de valeurs point par point $fg$ peut-être pas quelque chose dont nous pourrions prendre une transformée de Fourier en premier lieu.
Un autre problème qui montre certaines limitations est l'extension de la définition de la convolution (pas seulement "une définition", mais interagir raisonnablement avec d'autres opérations). Et il ne peut pas être entièrement symétrique, à la lumière du contre-exemple emblématique. Une extension valide est d'avoir des distributions prises en charge de manière compacte$u$ agir sur des fonctions fluides $f$ par $(u*f)(x)=u(T_xf)$ où $T_x$ est la traduction par $x$. Cela donne en effet une autre fonction douce comme résultat. Ensuite, il y a une "convolution" de distributions supportées de manière compacte telle que pour tout$f$ nous avons $(u*v)*f=u*(v*f)$. En fait, il peut être préférable d'utiliser une notation différente pour l' action , pour éclairer le manque de symétrie: écrivez$u\cdot f$... puis $(u*v)\cdot f=u\cdot (v\cdot f)$.
D'après les résultats de type Paley-Wiener, nous savons que les transformées de Fourier de certaines fonctions entières sont des distributions supportées de manière compacte. Plus généralement, nous commençons avec des distributions supportées de manière compacte très tangibles et avons un moyen ad hoc pratique de calculer leurs transformées de Fourier (autre que l'intégrale évidente, qui n'a généralement pas de sens.)
Ainsi, comme certaines sources classiques l'indiquent, une contrainte pour vouloir l'associativité de la convolution est qu'au moins deux des éléments impliqués doivent être supportés de manière compacte. Cette asymétrie apparente est réelle: comme dans le paragraphe précédent, les éléments «en réalité» à support compact agissent sur un support non compact, dans de nombreux cas où les éléments non supportés de manière compacte n'agissent pas raisonnablement.