Différence entre la variance $\sigma^2$ et variance de la distribution binomiale

Question

Je passe en revue certains concepts statistiques de base. Maintenant, je ne sais pas quelle est la différence entre la variance

$$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}(x_i-\mu)^2.$$

et distribution binomiale

$$\mathrm {Var}(X)=np(1-p)$$

La façon de calculer l'écart type est la même. Les deux prennent la racine carrée de la variance.

Quelqu'un peut-il me donner des informations sur la différence? Je vous remercie!

Answer 1

Pour comprendre leur relation, vous devez revenir à $\sigma^2$est défini. Rappelons que dans le cas discret

$$\sigma^2=Var(X)=E[(X-\mu)^2]$$

Si vous avez toutes les observations dans la population, vous pouvez calculer cette valeur attendue par la formule que vous avez fournie en premier

$$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}(x_i-\mu)^2.$$

Quand $X$ est plutôt une variable aléatoire, avec une probabilité $p$ d'occurrence, vous avez la formule suivante $$\sum p_i(x_i-\mu)^2.$$

Pour le cas binomial, c'est égal à

$$\sum{n\choose{x_i}}p^{x_i}(1-p)^{n-x_i}(x_i-\mu)^2.$$

La réécriture de ce terme nous donnera en fait le résultat

$$np(1-p).$$

Pour une preuve de cela, il suffit de google preuve de variance binomiale. En résumé, la formule que vous avez fournie en premier est la formule de calcul de la variance de la population. La deuxième formule est la façon dont vous calculez la variance d'une variable aléatoire qui a une distribution binomiale.