Différencier $x^x$ "directement"

Question

Je sais que le dérivé est $x^x\log x+x^x$, mais je l'ai obtenu en utilisant la différenciation logarithmique. Est-il possible d'obtenir cela «directement» sans apporter de journaux ou d'exponentiels?

Answer 1

Il existe une belle astuce utilisant le calcul multivariable qui est en quelque sorte plus naturel: si vous écrivez $f(y, z) = y^z$ et $g(x) = (x, x)$ pour la carte diagonale, puis $x^x = f(g(x))$. Maintenant, le différentiel de$f$ à un moment donné $(y, z)$ est $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ et le différentiel de $g$ est juste $(1,1)$, donc par la règle de la chaîne le dérivé de $x^x$ est $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$.

Answer 2

Je suppose que ce que vous voulez dire est de différencier des premiers principes, plutôt que d'utiliser$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$Vous devez évaluer$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

Si $y$ et $z$ sont des fonctions de $x$, puis la dérivée totale d'une fonction $f(y,z)$ par rapport à $x$ équivaut à $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ À partir de ce fait de calcul multivarié, nous pouvons déduire plusieurs règles de différenciation de calcul à une variable:

• Prise $f(y,z) = yz$, nous avons $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = y$, et ainsi (*) devient la règle du produit $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• Prise $f(y,z) = \frac yz$, nous avons $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$, et ainsi (*) devient la règle du quotient $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• Enfin, en prenant $f(y,z) = y^z$, nous avons $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$, et ainsi (*) devient $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ En particulier, définir $y=x$ et $z=x$, pour que $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, donne $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

Cette exploitation du dérivé total aide également avec les dérivés d'expressions comme $\int_a^x f(x,t)\,dt$, et aide à expliquer pourquoi ces règles très différentes ont toutes la forme "faire semblant de toutes les fonctions sauf une de $x$ sont constants, un à la fois, et additionnez tous ces prétendus dérivés ensemble pour obtenir le dérivé réel ".

Answer 4

Considérer,

$$f(x) = x^x$$

Ensuite,

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

Maintenant, considérez bien le terme entre parenthèses,

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

Et,

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

Par conséquent,

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

Par la définition que le dérivé est une variation de premier ordre,

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

Référence