Différentiels méromorphes et pullback.
Dans la section 3.3 de A First Course in Modular Forms de Diamond & Shurman , les auteurs traitent naïvement les «différentiels méromorphes». Il semble que les espaces qu'ils désignent$\Omega^{\otimes n}(X)$ est vraiment le $n^{\text{th}}$ puissance symétrique des différentiels dits méromorphes, notés $\Omega^1(X)$.
Voici ma première question. Quel est$\Omega^1(X)$? Cette question a la réponse "C'est une section de la puissance n-ième symétrique du faisceau de différentiels méromorphes" mais pour moi cela soulève simplement la question. Que sont les différentiels méromorphes?
Je crois que je sais quoi $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ (différentiels holomorphes) est, il devrait être défini comme les différentiels lisses le sont pour les variétés réelles $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ est simplement des sections du faisceau cotangent.
Passons maintenant au pullback. Localement, les auteurs définissent le pullback comme suit: si$\varphi:V_1\to V_2$ est une cartographie holomorphe de sous-ensembles ouverts de $\mathbb C$. ensuite$$\varphi^*(f(q_2)(dq_2)^n)=f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n(dq_1)^n.$$
J'aimerais comprendre cela dans le contexte de la géométrie différentielle. Ma compréhension (certes presque exclusive aux variétés réelles) est que si$\varphi:X\to Y$ est une cartographie holomorphe des surfaces de Riemann, le pullback $\varphi$ sur $\operatorname{Sym}^n\Omega^1(Y)$ à un moment donné $P\in X$ est $$\varphi^*_P(\omega_1\cdots\omega_n)(X_1,\dots,X_n):=\omega_1(\varphi_{*,P}X_1)\cdots\omega_n(\varphi_{*,P}X_n)$$ où juxtaposition $\omega\eta$ désigne le produit symétrique, $\varphi_{*,P}$ désigne le push-forward, et $\frac{1}{2}(\omega\otimes\eta+\eta\otimes\omega)$ et $X_1,\dots,X_n\in T_PX$.
Voici ma deuxième question, quelque peu dépendante de la première.
Comment récupérer l'expression locale de Diamond et Shurman à partir de l'expression différentielle-géométrique? Est-ce que j'exprime même correctement la définition naïve dans le langage des variétés en premier lieu?
Jusqu'à présent, je n'ai étudié les faisceaux vectoriels que dans le contexte des variétés différentiables. J'espère commencer (très bientôt) à étudier les faisceaux quasi-cohérents, mais je ne comprends pas encore ce cadre, alors veuillez répondre dans le contexte de variétés et de faisceaux réels et complexes, bien que des indications sur la façon dont cela fonctionne pour les poulies inversibles être apprécié car je devrais comprendre cela un peu plus tard.
Réponses
Permettez-moi de développer le commentaire ci-dessus et d'en faire une réponse. Il existe de nombreuses façons de définir les différentiels méromorphes, dont la plus simple est peut-être les "sections rationnelles du faisceau cotangent". Pour être plus précis, si$V \subseteq X$ est un sous-ensemble ouvert, et $U \subseteq V$ est telle que $V \setminus U$ se compose de points isolés, puis $\omega \in \Omega^1_{hol}(U)$ est un différentiel méromorphe sur $V$ s'il a des poteaux le long $V \setminus U$. Alternativement, on pourrait simplement définir une forme différentielle méromorphe sur$V$ utilisation de graphiques - définition de formes différentielles méromorphes sur $\mathbb{C}$ comme $ f(q) dq$ avec $f$ méromorphe, et dis que $\omega$ est une forme différentielle sur $V$ si pour n'importe quel graphique $\phi : W \rightarrow V \subseteq \mathbb{C}$, $\phi^{*} \omega$est méromorphe. Telle est l'approche adoptée dans Diamond et Shurman.
L'espace noté $\Omega^{\otimes n}(X)$ n'est pas le $n$-ème puissance symétrique, mais le $n$-ème puissance tenseur. Lorsque nous avons deux faisceaux de lignes, nous pouvons les tendre pour obtenir un nouveau paquet de lignes. On fait ça$n$temps pour le faisceau de lignes de différentiels méromorphes. En notation plus explicite$$ (dq)^n = (dq)^{\otimes n} = (dq)\otimes \ldots \otimes (dq) $$ Si $\varphi : X \rightarrow Y$ est holomorphe, alors le retrait satisfait $$ \varphi^*(\omega_1 \otimes \ldots \otimes \omega_n) = \varphi^*(\omega_1) \otimes \ldots \otimes \varphi^*(\omega_n) $$ et nous obtenons \begin{align*} \varphi^*(f(q_2)(dq_2)^{\otimes n}) &= \varphi^*(f(q_2)dq_2) \otimes (\varphi^*(dq_2))^{\otimes n-1} \\ &= (f(\varphi(q_1)) \varphi'(q_1) dq_1) \otimes (\varphi'(q_1)dq_1)^{\otimes n-1} \\ &= f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n (dq_1)^{\otimes n} \end{align*} où ici nous avons utilisé la règle de la chaîne pour retirer chaque différentiel.