Difficulté d'approximation WKB - décider du terme à négliger

Question

Considérez bien le quantum suivant:

La région 1 est une région classiquement interdite, et donc la fonction d'onde WKB prendra la forme d'une équation

$$\psi(x) = \frac{C}{\sqrt{q(x)}}e^{+\int_b^a q(x')dx'/\hbar} + \frac{D}{\sqrt{q(x)}}e^{-\int_b^a q(x')dx'/\hbar}. $$

Supposons qu'il n'y ait plus de tournants classiques entre $x = a$ et $x = -\infty$. Dans ce cas, nous devons négliger le terme dans lequel «explosera» à moins l'infini:

Selon mes notes, la solution dans la région 1 est la suivante:

$$\psi_1(x) = \frac{A_1}{\sqrt{q(x)}}e^{\int_x^a -q(x')dx'/\hbar},\tag{1}$$

tandis que la solution dans la région 3 est la suivante: $$\psi_3(x) = \frac{A_2}{\sqrt{q(x)}}e^{\int_b^x -q(x')dx'/\hbar}.\tag{3}$$

Notez que $$q(x) = \sqrt{(2m(V(x)- E))}.$$

Ma question est de savoir pourquoi le terme $\psi_1$contient l'exponentielle négative; ce sera sûrement celui qui explosera car le négatif * le négatif est le positif. Sûrement, si nous allons à l'infini négatif, alors nous voudrions rejeter le terme avec l'exponentielle négative et conserver celui avec l'exponentielle positive.

Answer 1

1. Remarquez tout d'abord que $q>0$ est positif dans les régions interdites, donc l'intégrale est positive.

2. Puisque $x<a$dans la région 1, l'intégrale en éq. (1) est positif, donc l'exponentielle est amortie$<1$, comme cela devrait être.

3. Puisque $b<x$dans la région 3, l'intégrale en éq. (3) est positive, donc l'exponentielle est amortie$<1$, comme cela devrait être.