Dirac delta et une composition de fonctions

Question

Je travaille sur une intégrale qui a un delta de Dirac, et normalement je suis d'accord avec eux, mais cette fois j'ai le delta de Dirac associé à une composition de fonctions.

L'intégrale est,

$$ \int dx \delta(x-x_0)\cos (\phi(x,t)). $$

J'en ai peut-être trop réfléchi et la réponse est juste $\cos(\phi(x_0,t))$, mais je ne trouve aucune référence à savoir s'il existe ou non une règle spéciale pour cette situation.

Quelqu'un peut me diriger dans la bonne direction?

Answer 1

Supposons que nous ayons le $2$-fonction delta variable $\delta(x,y)$ et un $2$-fonction variable $f(x,y)$, puis:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0) \ dx dy = f(x_0,y_0).$$

Cela donne la même réponse si vous intégrez par rapport à $x$ ou $y$première. En effet:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0) \ dy dx = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y_0)\delta(x-x_0)dx=f(x_0,y_0)$$

et de même lorsque vous intégrez à $x$ première.

Ainsi nous avons:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)f(x,t)dx=f(x_0,t)$$

pour tous $x_0 \in \mathbb R.$