Échange de limite et d'intégrale

Question

Laisser $f_m(x) =\lim_{n\rightarrow \infty}\cos(\pi m!x))^{2n}$; on sait qu'il s'agit d'une fonction intégrable de Lebesgue et de Riemann, et$g(x)=\lim_{m\rightarrow \infty} f_m(x)$, qui n'est pas Riemann intégrable mais Lebesgue intégrable. Je veux savoir si$$\lim_{m\rightarrow \infty}\int_0^1f_m(x)dx = \int_0^1\lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x)dx$$ Je connais un moyen de le prouver en utilisant le théorème de convergence monotone mais je ne pense pas que je puisse l'utiliser ici depuis $f_m(x)$n'est pas monotone. Est-ce que quelqu'un peut m'aider?

Answer 1

Considérant que le cosinus est une fonction bornée, il est trivial d'appliquer le théorème de convergence dominée avec une fonction constante, qui est intégrable par Lebesgue dans un intervalle fini. La déclaration suit alors