Équivalent de déformation vs variété difféomorphe à projective

Question

Laisser $M$ être une variété complexe fermée qui n'est pas une déformation équivalente à une variété projective complexe.

Pouvez $M$être orienté différemment à une variété projective complexe? Et qu'est-ce qui se passerait si$M$ est d'ailleurs Kähler?

Answer 1

Je crois que la réponse est oui et découle de la combinaison du théorème 4.6 ici https://arxiv.org/pdf/math/0111245.pdf et le théorème 1.3 ici https://arxiv.org/pdf/math/0111245.pdf

Le premier résultat montre que les déformations des tores complexes standards sont des tores complexes (ie $\mathbb C^n/\Gamma$ où $\Gamma\cong \mathbb Z^{2n}$). Le deuxième résultat montre que sur$T^6$ il existe une famille dimensionnelle infinie de structures complexes.

PS. Quant à la deuxième version de la question, où$M$est demandé en plus d'être Kahler, je suppose que cela peut être considéré comme un problème ouvert. Rappelez-vous danshttps://link.springer.com/article/10.1007/s00222-003-0352-1Voisin a résolu négativement le problème de Kodaira en construisant le tout premier exemple d'une variété de Kahler qui n'est pas une déformation équivalente à une projective. Il me semble que depuis lors, aucun nouvel exemple n'a été trouvé d'un tel phénomène. Et comme vous l'avez souligné dans un article différent, il a été prouvé récemment qu'en dimension$3$ chaque collecteur Kahler peut être déformé en un manifold projectif, mais c'est un travail difficile (en s'appuyant fortement sur le dim $3$). Donc, pour avancer dans votre question, il faut avancer dans l'une de ces deux directions - essayer d'étendre le$3$-résultat dimensionnel à dimension $4$ et en essayant de rechercher de nouvelles constructions de variétés Kahler ...

Answer 2

Oui.

Comme chacun sait, des structures complexes et plates sur $\Bbb R^4$ sont paramétrés par deux copies de $\Bbb CP^1$. Prenez votre courbe elliptique préférée$E$; carte$e \mapsto -e$ donne un revêtement ramifié à deux feuilles $p: E \to \Bbb CP^1$. Considérons une structure complexe sur$E \times T^4$ où la structure complexe sur la fibre sur $e \in E$ correspond au point $p(e)$. Cette structure presque complexe est intégrable (exercice assez facile) et non-Kahler (si c'était le cas, la métrique de Kahler correspondante serait plate et globalement pluriclose, mais le calcul montre qu'une telle métrique ne pourrait pas être compatible).

Il y a un article de Catanese du début des années 2000 où il montre que toute déformation d'un tore plat complexe à 3 dimensions est à nouveau un tore plat (et même résultat pour les produits de courbes de genre plus élevé avec tore $\Sigma \times T^4$). (UPD: c'est le premier lien dans la réponse de Dmitri)

Je ne connais aucun exemple de Kahler.