Est $c_{00}^*$ dense dans $c_0^* $

Question

je le sais $c_{00}$ est dense dans $c_0$ dans $l_1$. Est-ce aussi vrai que$c_{00}^*$ dense dans $c_0^* $?

Et dans $l_\infty$? Je sais que ce n'est pas vrai que$c_{00}$ est dense dans $c_0$ dans $l_\infty$. Mais je l'ai vu quelque part$c_{00}$ est dense dans $c_0$ dans $l_\infty$.

Pourquoi est-ce vrai?

Merci!

Answer 1

Bien sûr $c_{00}$ est dense dans $c_0$dans la norme de l'infini. Si$(x_n)\in c_0$ et $\varepsilon>0$, alors nous pouvons trouver $n_0$ st pour tous $n\geq n_0$ nous avons $|x_n|<\varepsilon$. Ensemble$y=(x_1,\dots,x_{n_0},0,0,\dots)\in c_{00}$. ensuite$\|x-y\|_{\infty}=\sup_{n\geq n_0}|x_n|\leq\varepsilon$.

Maintenant sur les duels. Si$X$ est un espace normé et $Y$ est un sous-espace de $X$, puis $Y^*\subset X^*$: Ce n'est pas anodin! Cela a du sens par le théorème de Hahn-Banach: toute fonctionnelle sur un sous-espace peut être étendue à une fonctionnelle de même norme définie sur tout l'espace. Maintenant si$Y$ est dense dans $X$, alors cette extension est unique (pourquoi?). Cela montre que$Y^*\cong X^*$, donc pour répondre à votre question, puisque $c_{00}$ est dense dans $c_0$, nous avons ça $c_{00}^*$ est dense dans $c_0^*$, car ils sont isomorphes isométriquement.