Est-ce $\epsilon$- $\delta$ limite correcte?

Question

Je dois montrer que $\lim_{x\to2}x^2+x+1=7$ avec le $\epsilon$-$\delta$définition de limite. Voici comment je l'ai fait:$\left\lvert x^2+x-6\right\rvert=\lvert x−2\rvert\lvert x+3\rvert<\epsilon$ et puisque nous sommes proches de $2$, nous pouvons supposer que le $\delta$-Quartier de $c=2$ doit avoir un rayon de max $\delta=1$ ce qui implique que: $\lvert x-2\rvert < \frac{\epsilon}{6}$. Nous choisissons maintenant$\delta = \min\{3,\frac{\epsilon}{6}\}$ et nous pouvons conclure que si $\lvert x−2\rvert<\delta$, il s'ensuit que $\left\lvert x^2+x+1-7\right\rvert < 6\frac{\epsilon}{6}=\epsilon$. Ce calcul est-il correct? Est-ce que je rate quelque chose? Ou quelques détails?

Answer 1

Normalement, avant ou pendant que je présente une réponse, je suis censé répondre aux questions du PO et signaler toute erreur ou omission. Je ne peux tout simplement pas faire ça ici. Je suis d'accord avec le commentaire de Ted Shifrin.

Laisser $f(x) = x^2 + x + 1.$

Prouver:

$\forall \epsilon > 0 ~\exists ~\delta > 0~$ tel que
$|f(x) - 7| < \epsilon~$ n'importe quand $~0 < |x - 2| < \delta.$

Je vais présenter cela comme une solution complète, montrant comment vous créez la relation entre $\delta$ et $\epsilon$.

Supposer que $(2-\delta) < x < (2 + \delta)$. ensuite

• $4 - 4\delta + \delta^2 < x^2 < 4 + 4\delta + \delta^2.$

• $2 - \delta < x < 2 + \delta.$

Par conséquent, $7 - 5\delta + \delta^2 < f(x) < 7 + 5\delta + \delta^2.$

La première chose à faire est d'établir que l'une des contraintes qui sera imposée $\delta$ est-ce $\delta < 1.$

Cela garantira que$0 < \delta^2 < \delta.$

Avec cette contrainte imposée,

$$7 - 5\delta < f(x) < 7 + 6\delta.$$

Cela signifie que pour tout $0 < \delta < 1,$ si $\epsilon$ se trouve être supérieur à$6\delta$, puis $$|f(x) - 7| < \epsilon.$$

Une solution simple est donc (par exemple) de définir $\delta = \min\left[0.9, (\epsilon/10)\right].$

Answer 2

C'est vraiment aussi simple que vous le faisiez, bien qu'il y ait des erreurs et que ce soit mal écrit. Vous avez bien compris qu'il est important de lier l'un des$|x-2|, |x+3|$, à savoir $|x-2|$.

Il est normal de commencer par $\delta := 1$ car cela nous donne plus d'informations sur lesquelles travailler pour les petits $\epsilon$, en particulier lorsque nous avons $0 < \epsilon < 1$.

N'oubliez pas que nous considérons la limite comme $x$ approches $2$, nous devons donc d'abord examiner comment restreindre $x$, parfois vous devez le faire et dans ce cas en particulier, car nous devons ajouter $5$ pour $|x+3|$ tout en le laissant limité d'une manière ou d'une autre (sinon $x$ pourrait simplement être un nombre négatif où $|x|$ est très grand).

Cela étant dit, nous pouvons restreindre $x$ environ $2$ tel que $1 < x < 3$ pour que $|x-2| < 1:\delta_{1} $ et $4 < x+3 <6 \implies |x+3| < 6$.

Par conséquent, si nous choisissons $\delta_{1} := 1$, nous voyons par quoi notre autre terme est limité.

Maintenant nous pouvons choisir $\delta_{2}$ pour que $|x-2| < \delta_{2} = \frac{\epsilon}{6}.$

Par conséquent, pour certains arbitraires $\epsilon > 0$ si nous prenons $\delta:=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$, puis $|x^{2}+x-6| =|x-2||x+3| < \frac{\epsilon}{6}\cdot 6 = \epsilon$.

Answer 3

nous mettons $f(x) = x^2 +x+1$

Nous pouvons prouver que: $|f(x) - l|<\delta $ $ \Rightarrow $ $ |x-a|<\alpha $

$\alpha , \delta > 0$

$|f(x) - l|= |x^2 +x+1-7|=|x^2 +x-6|=|x-2||x+3|$

$|f(x) - l|<\delta$

$\Rightarrow $ $|x-2||x+3|<\delta$

Supposer $x\in [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}] $

$\Rightarrow $$\ frac {9} {2} \ leq x + 3 \ leq \ frac {11} {2} $

$ \ Rightarrow $$|x+3|\leq \frac {11}{2} $

$\Rightarrow $$| x-2 || x + 3 | \ leq \ frac {11} {2} | x-2 | $

nous savons que :

$ | x-2 || x + 3 | <\ delta $

Donc:

$ \ frac {11} {2} | x-2 | <\ delta $

$ \ Flèche droite $ $ | x-2 | <\ frac {2} {11} \ delta $

On met $ \ alpha = \ frac {2 \ delta} {11} $

Enfin: Après la définition de la limite nous avons prouvé $ \ lim_ {x \ to 2} f (x) = 7 $