Est $\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$?

Question

Voici le problème :

Laisser {$X_n$}$_{n\geq0}$être une séquence décroissante non négative de RV, c'est-à-dire$X_n\leq X_{n-1}$,$\forall n \geq1$, tel que$P(0\leq X_0<\infty)=1$.

Est-il vrai que$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$? Et si$E(X_0)<\infty?$

Ben s'il est vrai que$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$, alors nous avons fini puisque$\sup_{n\geq1}X_n=X_1$, et dans ce cas on peut dire que$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$si$E(X_0)<\infty$, par le théorème de convergence monotone. Je dirais donc non à la première question et oui à la seconde.

Ai-je raison? est l'inégalité$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$généralement vrai pour les séquences monotones ?

Comme toujours, merci beaucoup pour toute aide.

Answer 1

$EX_n$décroît.$sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$alors$sup_n EX_n<\infty$ssi$EX_1 <\infty$. Mais$P(0\leq X_0 <\infty)=1$n'implique pas que$EX_1 <\infty$mais si$EX_0 <\infty$alors$EX_1<\infty$aussi.