Exactement un inverse à droite implique inversible?

Question

Je sais que, dans un ring avec identité$R$, si$a$a exactement un inverse droit$b$, alors$a$est inversible. En effet:

$$a(ba-1+b)=aba-a+ab=a-a+1=1,$$

pour que$ba-1+b=b$, Donc$ba=1$.

Cependant, est-ce toujours vrai pour tout monoïde, c'est-à-dire si, dans un monoïde$X$,$a$a exactement un inverse droit$b$, alors c'est$a$inversible ?

Si$X$est fini, alors la réponse est oui. En effet, dans un monoïde fini$X$, si$a$a un inverse à droite$b$, alors$x\mapsto xa$est une fonction injective de$X$à lui-même, donc par finitude de$X$la fonction est surjective, il existe donc une$c$tel que$ca=1$, Donc$a$est inversible.

Answer 1

La réponse est "non" pour les monoïdes. Considérons le monoïde ( bicyclique )$B$généré par 2 fonctions$\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. La fonction$p$est le décalage :$p(n)=n+1$. La fonction$q$est la pseudo-inverse de$p$:$q(n)=n-1$si$n>1$et$q(1)=1$. Puis$pq=1$($p$agit en premier) donc$q$est un inverse à droite de$p$. Il en résulte immédiatement que tout élément de$B$a la forme$q^kp^m$pour certains entiers non négatifs$k,m$. Cela implique aussi facilement que$p$n'a pas d'autre inverse à droite dans$B$. Mais$p$n'a pas d'inverse puisque$qp\ne 1$.