Existe-t-il un concept de limite de formules

Question

Je me demande s'il existe une notion comme la limite des formules (et des structures) parce que je crois qu'elle est importante pour décrire les structures dénombrables (à partir de structures finies). (Pour plus de détails, voir cet article .) Je donne maintenant un excellent exemple pour l'illustrer. L'exemple est le soi-disant atome Quine. Laisser$$ I_n=\{I_{n-1}\},\quad\text{for } n\geqslant1, \:\text{and } I_0=G_0. $$ Où $G_0\neq\{G_0\}$. En appliquant à plusieurs reprises l'axiome d'extensionnalité, on obtient\begin{align} \phi_n&\iff\exists !\:y_n\in I_n \\ &\iff \exists !y_n(y_n=I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n((\exists !y_{n-1}\in y_n)(y_{n-1}\in I_{n-1})\land (\exists !y_{n-1}\in I_{n-1})(y_{n-1}\in y_n)) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n\land y_{n-1}\in I_{n-1}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}(y_{n-1}=I_{n-2}) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land\exists !y_{n-1}((\exists !y_{n-2}\in y_{n-1})(y_{n-2}\in I_{n-2})\land(\exists !y_{n-2}\in I_{n-2})(y_{n-2}\in y_{n-1})) \\ &\iff\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \exists !y_{n-1}\exists !y_{n-2}(y_{n-2}\in y_{n-1}\land y_{n-2}\in I_{n-2}) \\ &\quad\:\vdots \\ &\iff \exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j})\quad\quad\quad\quad\text{(1)} \end{align} Clairement, pour tout $n<\omega$, $I_{n}\models \phi_n$. Cela suggère que nous pouvons définir la limite des formules comme suit.

Edit: Comme indiqué dans l'exemple de @ Goldstern, les formules de limite ne peuvent pas être trop générales. Nous les limitons donc à un$\aleph_0$-Théorie catégorique. (Cela pourrait être étendu à la théorie d'une structure dénombrable saturée.)

Définition 1 : Supposons pour tout$n<\omega$, $\varphi_{n}$ est dans un $\aleph_0$-théorie catégorique $T$ dans $L$ (une langue infinitaire de $L_{\omega_1, \omega}$) et $M_{n}\models \varphi_{n}$. Si pour tout$n$, Il y a un $N_n$ que pour tout $k>N_n,\:M_{k}\models \varphi_{n}$, puis $\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}$ est une formule (unique) (jusqu'à l'équivalence) dans $L$, et $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$ est un (unique) $L$-structure. Laisser$\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_{n}=\varphi_{\omega}$ et $\lim_\limits{n\to\omega}M_{n}=I_{\omega}$. ensuite$M_{\omega}\models \varphi_{\omega}$.

Les axiomes suivants sont également valables pour la limite des formules.

1. $\lim_\limits{n\to\omega}(\phi_{n}\land\varphi_n)=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}\land\lim_\limits{n\to\omega}\varphi_n$
2. $\lim_\limits{n\to\omega}\neg\phi_{n}=\neg\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
3. $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x\phi_{n}=\exists x\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$
4. $\lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_\limits{1\leqslant j\leqslant n}\phi_j=\bigwedge_\limits{ n<\omega}\phi_n$

Nous pouvons prouver à partir des axiomes ci-dessus que

1. $\lim_\limits{n\to\omega}(M_{n-1}\in M_n)=\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n}$

2. $\lim_\limits{n\to\omega}\exists x_n(M_{n-1}\in M_n)=\exists\lim_\limits{n\to\omega} x_n(\lim_\limits{n\to\omega}M_{n-1}\in \lim_\limits{n\to\omega}M_{n})$

(Pour des preuves détaillées, voir ce document .)

$\operatorname{Th}(I_n)$ est $\aleph_0$-catégorique car tout $I_i$ peut être mappé individuellement à $I_j$, et est donc homogène. Puisque le langage de la théorie des ensembles est relationnel fini,$\operatorname{Th}(I_n)$ est $\aleph_0$-catégorique. Par définition 1 et (1), on peut voir que$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}$ et $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}$les deux sont uniques. Laisser$\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n}=\phi_{\omega}$ et $\lim_\limits{n\to\omega}I_{n}=I_{\omega}$. ensuite$I_{\omega}\models \varphi_{\omega}$. en outre\begin{align} \phi_{\omega}&=\lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} \\ &=\lim_\limits{n\to\omega}\exists !y_n \exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_n)\land \lim_\limits{n\to\omega}\bigwedge_{1\leqslant j\leqslant n-1}\exists !y_j\exists !y_{j-1}(y_{j-1}\in y_{j}) \\ &=\exists !I_{\omega}(I_{\omega}\in I_{\omega})\land \bigwedge_{n<\omega}\exists !y_n\exists !y_{n-1}(y_{n-1}\in y_{n})\quad\quad\quad(\lim_\limits{n\to\omega}y_n=I_{\omega}) \end{align}

Donc $I_{\omega}=\{I_{\omega}\}$, c'est à dire $I_{\omega}$ est un atome de Quine.

Puisque la limite des formules (pour les structures finies) peut décrire complètement l'atome Quine, je crois qu'il jouera (jouera) un rôle significatif dans l'étude des structures dénombrables. Je tiens à confirmer que la notion ci-dessus de limite de formules et de raisonnement n'est pas disponible dans la théorie des modèles actuelle et appartient donc à un nouveau champ de recherche.

Edit: Ensuite, je donnerai deux exemples sur la façon d'appliquer la limite des formules à l'étude de certains résultats connus en théorie des modèles.

Exemple 1: Il existe un grand nombre arbitraire dans la théorie des nombres non standard.

Laisser $\phi_n=\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)$ et $M_n\models \phi_n$. Depuis pour tout$k>n, \:x>k\to x>n, \:M_k\models \phi_n$. Donc la limite de$\phi_n$ existe et $$ \lim_\limits{n\to\omega}\exists x\bigwedge_\limits{m\leqslant n}(x>m)=\exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n) $$ Et il y a un $M\models \exists x\bigwedge_\limits{n<\omega}(x>n)$.

Le deuxième exemple montre que la théorie de DLO sans points d'extrémité est la limite d'union des décalages d'entiers.

Exemple 2: Supposons$T$ est la théorie de DLO sans points de terminaison et $M_n=\bigcup_\limits{1\leqslant j<n}(\Bbb{Z}+j/n)$. ensuite$\lim_\limits{n\to\omega}\bigcup_\limits{n<\omega}M_n=\Bbb{Q}$ et $T = Th(\Bbb{Q})$.

Supposer $\varphi_n,\phi_n,\delta_n$ sont des phrases spécifiant les propriétés de l'ordre linéaire, un sous-ensemble dense et un ensemble sans extrémités pour $M_n$. ensuite

\begin{align} \varphi_n &= (∀x,y,z∈M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \phi_n &= (∀x,y∈M_n)(x<y⇒(∃z∈M_{l})(l>n∧x<z<y)) \\ \delta_n &= (∀x∈M_n)((∃y∈M_n)(y<x)∧(∃y∈M_{n})(x<y)) \end{align} Pour toute $x,y∈M_{n}\:(x<y)$, ensemble $N_{n}=2n$. ensuite$∀k>N_{n},\:∃z∈M_{k}$ cette $x<z<y$, c'est à dire $M_{k}\models φ_{n}$. Puisque$ℤ\modelsϕ_{n}∧δ_{n},\:M_{k}\models ϕ_{n}∧φ_{n}∧δ_{n}$ et $T$ est $ℵ_0$-catégorique, $\lim_\limits{n\to\omega}M_n$est unique. Et\begin{align} \lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n} &=(∀x,y,z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x≤x∧(x≤y∧y≤x⇒x=y)∧(x≤y∧y≤z⇒x≤z)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}\phi_{n} &=(∀x,y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y⇒(∃z∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<z<y)) \\ \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n} &=(∀x∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)((∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(y<x)∧(∃y∈\lim_\limits{n\to\omega}M_n)(x<y)) \end{align} Puisque $\lim_\limits{n\to\omega}ϕ_{n},\lim_\limits{n\to\omega}φ_{n}, \lim_\limits{n\to\omega}δ_{n}$ sont des axiomes de $Th(\Bbb{Q}),\: \lim_\limits{n\to\omega}M_n=\Bbb{Q}$ et $T = Th(\Bbb{Q})$.

Answer 1

Je ne sais pas quels axiomes de la théorie des ensembles vous souhaitez utiliser. Certainement pas un fondement, mais je suppose qu'au moins l'axiome singleton est autorisé.

Considérer $M_0:= \{x\}$, où $x$ est un élément satisfaisant $x\not=\{x\}$. $M_{n+1}:=\{M_n\}$. Laisser$\varphi_n$ être $\phi_n \wedge \psi$, où $\phi_n$ est votre formule, et $\psi$dit que l'élément unique n'est pas un élément en soi. Puis par vos arguments la limite$M_\omega$ doit satisfaire $M_\omega = \{M_\omega\}$, mais il doit aussi satisfaire $\psi$, ce qui est une contradiction.

Ainsi vos axiomes et règles conduisent à une preuve de $x=\{x\}$ pour tous $x$.

Il se peut que j'ai raté quelque chose. En fait, je ne fais que deviner quel langage formel vous utilisez.