Explication de la notation du point ci-dessus plus $\dotplus$ pour les matrices

Question

J'étudie l'article de Y Kubota "Une note sur les imbrications holomorphes des classiques de Cartan domanis dans la boule unitaire". Il y a une phrase dans l'article

Considérant une matrice asymétrique $Z$ d'ordre $q$ tel que $$Z=\left(\begin{array}{cc} 0 & a_1\\ -a_1&0 \end{array}\right)\dotplus\ldots\dotplus \left(\begin{array}{cc} 0 & a_m\\ -a_m&0 \end{array}\right),$$ où q = 2m et $a_1,\ldots, a_m\in{\mathbb{C}}$.

Clairement, les expressions sur la droite sont $2\times 2$ matrices et l'expression de gauche est une matrice d'ordre $2m$, mais qu'est-ce que le symbole $\dotplus$ signifier.

J'ai trouvé une notation similaire ici mais c'est pour le produit d'algèbres. Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre ce que cela signifie, s'il s'agit d'une notation standard ou ce que cela signifie.

Answer 1

L'article de 1980 " Une note sur les imbrications holomorphes des domaines classiques de Cartan dans la boule d'unité " par Yoshihisa Kubota utilise$\dotplus$et cite l'article de 1944 « Sur la théorie des fonctions automorphes d'une matrice I-Geometrical Basis variable » par Loo-Keng Hua, qui écrit dans le théorème 7:

Laisser $Z$être une matrice asymétrique non singulière; alors nous avons une matrice unitaire$U$ tel que $$UZU'=\begin{pmatrix}0&d_1\\-d_1&0\end{pmatrix}\dotplus\cdots\dotplus\begin{pmatrix}0&d_{n/2}\\-d_{n/2}&0\end{pmatrix}\text{,}$$ où $d_1^2,d_1^2,\cdots,d_{n/2}^2,d_{n/2}^2$ sont les racines caractéristiques de $-Z\overline{Z}$.

À titre de comparaison, la section théorie spectrale de la page Wikipédia anglaise pour la matrice asymétrique dit

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1 \\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2 \\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\ & & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix} \end{bmatrix}$$... toute matrice asymétrique complexe peut être écrite sous la forme $A=U\Sigma U^{\mathrm{T}}$ où $U$ est unitaire et $\Sigma$ a la forme diagonale de bloc donnée ci-dessus avec $\lambda_k$ toujours réel positif-défini.

Dans ce contexte, je suis assez convaincu que $\dotplus$tel qu'utilisé par Kubota désigne la somme directe des matrices, qui produit une forme de bloc comme illustré ci-dessus et deviné par Gary dans un commentaire .