Explosions multiples

Question

Supposons que je considère, à l'intérieur $\mathbb{P}^6$, les sous-variétés $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ et $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Je veux comprendre de quoi a explosé $\mathbb{P}^6$ le long de $Y,Z$. Après le livre de Harris sur la géométrie algébrique, j'ai commencé par$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: l'idéal de $Y$ est $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$, et donc j'ai une carte rationnelle

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ et $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ est la variété fermée associée au graphe de $\phi$.

Maintenant j'aimerais exploser $\mathbb{P}^6$ le long de $Z$, donc je suppose que j'ai besoin d'étudier

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

et ici j'ai plusieurs questions:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Je suppose que oui, puisque je répète la procédure ci-dessus, je me demandais si une séquence de$n$-les explosions par exemple vivent dans un produit cartésien de $n+1$-espaces projectifs (bien que je puisse évidemment les intégrer via une carte Segre);
• Puis-je exploser simultanément $\mathbb{P}^6$ le long de $Y,Z$? Est-ce que j'obtiens la même construction?
• (Lié à la question ci-dessus): que se passe-t-il si $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Oui, vous pouvez le faire - chaque fois que vous faites exploser quelque chose (localement) coupé par $d$ équations à l'intérieur $X$, vous pouvez intégrer votre explosion dans le produit $X\times\Bbb P^{d-1}$. Cela découle de la description de l'explosion en tant que projet relatif:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$, et localement sur $X$ nous avons une surjection $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ qui (après collage) correspond à une immersion fermée $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Oui si $Y,Z$ sont deux sous-schémas fermés disjoints puis toutes les explosions $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ et $Bl_{Y\cup Z} X$sont identiques. Cela peut être vérifié localement, car les explosions sont des isomorphismes éloignés de la chose que vous faites exploser.
3. Il s'avère qu'une partie de notre conclusion de 2 tient une fois que nous généralisons de manière appropriée: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(c'est le lemme IV-41 dans Eisenbud et Harris ' The Geometry of Schemes ). Notez qu'il s'agit de la transformation totale et non de la transformation stricte - les transformations strictes sont sensibles à l'ordre. Que ce soit égal ou non à$Bl_{Y\cup Z}(X)$ devrait probablement dépendre de la façon dont $Y$ et $Z$ intersect, mais je n'ai pas d'exemples instructifs à portée de main pour le moment, et fondamentalement toute la théorie générale de la résolution des singularités est développée en supposant une explosion le long d'un centre lisse, ce qui vous remet dans la situation de 2.