Fausse dualité du schéma de groupe diagonalisable / constant?
Ce qui suit est une introduction au schéma de groupe constant et au schéma de groupe diagonalisable.
Laisser $M$ être un groupe abstrait arbitraire et $S$être un schéma. Laisser$M_S=\coprod_{i\in M}S_i$ où $S_i=S$, qui peut être construit en collant les données d'un schéma, voir tag 01JA . ensuite$M_S$ s'appelle le schéma de groupe constant sur $S$ associé à $M$. Et pour tout$S$-schème $T$, $M_S(T)=\{\text{locally constant functions }f:|T|\to M\}$, où $|T|$ a la topologie Zariski et $M$ a une topologie discrète et une fonction localement constante est définie comme étant $\forall t\in T,\exists U\ni t\text{ open}$ st $f(U)={f(t)}$. voir tag 03YW
Le double d'un schéma de groupe $G$ plus de $S$ est un schéma représentant le foncteur $T/S\mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(G_T,\mathbb{G}_m)$. Pour un schéma de groupe constant$M_S$, son dual est noté $D(M)$ ou $D_S(M)$et ce sont précisément les schémas de groupe diagonalisables. En particulier, il existe et$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}D_S(M)\cong \Spec \mathbb{Z}[M]\times_{\Spec \mathbb{Z}}S$ où $\mathbb{Z}[M]$ est l'anneau de groupe $\bigoplus_{i\in M}\mathbb{Z}_i$avec une structure en anneau évidente. Notez que$D_S(M)$ est toujours commutative, peu importe si $M$ est commutative.
Il est connu dans quelques références que si $M$ est commutative alors $D_SD_S(M)=M_S$ c'est à dire $M_S$est réflexif. (par exemple SGA3, Expose VIII, Page 3, Theoreme 1.2 ou [Groupe Algeacutebriques by Demazure et Gabriel, Chap II, §2,2.11 Dualite des groupes diagonalisables]). Mais aucune des preuves ne semble convaincante. Et il me semble trouver un contre-exemple dans un certain sens.
D'après ma compréhension de la correspondance entre $\DeclareMathOperator{\itSpec}{\mathit{Spec}}D_SD_S(M)(T)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(\itSpec_{\mathcal{O}_T}\mathcal{O}_T[M],\mathbb{G}_m)$ et $M_S(T)$. Un élément dans$\mathrm{Hom}_{\mathrm{Gr}-T}(\itSpec_{\mathcal{O}_T}\mathcal{O}_T[M],\mathbb{G}_m)$ correspond à une carte de $\mathcal{O}_T$-algèbres $f:\mathcal{O}_T[t,t^{-1}]\to \mathcal{O}_T[M]=\bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T$ st $\epsilon f(t)=1$ et $\Delta(f(t))=f(t)\otimes f(t)$.
Si nous écrivons $f(t)=\sum_{i\in M}a_i\cdot e_i\in \bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T(T)$ ensuite nous avons $a_i \cdot a_j=\delta_{ij}a_i$ et $1=\sum_i a_i$ (donc chacun $a_i$ est un élément idempotent dans $\mathcal{O}_T(T)$). Clairement$\forall s\in T,1|_s=\sum_i a_i|_s$ donc au moins un des $a_i$ est pris en charge sur $s$. Et$T_{s_i} \cap T_{s_j}=T_{s_is_j}=T_0=\emptyset$. Donc$(T_{s_i})_{i\in M}$ forme une couverture ouverte disjointe de $T$ qui peut être identifié avec une fonction localement constante de $T$ à $M$. Mais le seul problème est,$\sum_{i\in M}a_i\cdot e_i\in \bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T(T)$n'a que des termes finis, ce qui signifie que la carte induite localement constante n'a qu'une image finie. Et je crois qu'il existe localement des fonctions constantes$T\to M$ avec une image infinie, qui ne peut pas être induite $\mathcal{O}_T[t,t^{-1}]\to \mathcal{O}_T[M]=\bigoplus_{i\in M}\mathcal{O}_T$.
Alors, quelle partie de mes disputes est erronée? Ou avons-nous besoin de conditions supplémentaires sur$M$ (comme fini ou généré fini) ou le schéma de base $S$(comme localement Noetherian, connecté ou connecté localement)? Ou la dualité ne tient que dans certaines topologies comme la topologie fppf / etale?
Réponses
Je vais donner une identification de $DD(M)(S)$ et $M_S(S)$. Utilisation de l'identification$D(M)=\mathrm{Spec}\mathcal{O_S}[M]$ et $\mathbb{G}_m=D(\mathbb{Z})$, nous avons $$DD(M)(S)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_S-\mathrm{Hopf-alg}}(\bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}e_i\mathcal{O}_S,\bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S)$$ c'est-à-dire que chaque élément est déterminé par une carte $\phi$ de $\mathcal{O}_S$-modules st le diagramme commutatif suivant tient $$\require{AMScd}\begin{CD} \bigoplus_{i\in \mathbb{Z}}e_i\mathcal{O}_S @>\phi>> \bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S\\ @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V\\ \bigoplus_{j,k\in \mathbb{Z}}e_{j}\mathcal{O}_S\otimes e_k\mathcal{O}_S @>\phi\otimes \phi>> \bigoplus_{a,b\in M}e_a\mathcal{O}_S\otimes e_b \mathcal{O}_S \end{CD}$$ C'est équivalent aux données $\mu :\mathcal O_S \cong e_1\mathcal{O}_S\stackrel{\phi}{\to}\bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S$ (écrit $\mu=\sum_i e_i \mu_i$ où $\mu_i:\mathcal{O}_S\stackrel{\mu}{\to}\bigoplus_{j\in M}e_j\mathcal{O}_S\to e_i\mathcal{O}_S\cong \mathcal{O}_S$) st le diagramme fait la navette $$\require{AMScd}\begin{CD} \mathcal{O}_S @>\mu>> \bigoplus_{i\in M}e_i\mathcal{O}_S\\ @VV{\mathrm{id}}V @VV{e_i\mapsto e_i\otimes e_i}V\\ \mathcal{O}_S @>{\mu\otimes\mu}>> \bigoplus_{a,b\in M}e_a\mathcal{O}_S\otimes e_b \mathcal{O}_S \end{CD}$$ et $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$.
C'est équivalent à la condition que $(\mathcal{O}_S\otimes \mathcal{O}_S\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{O}_S)\circ(\mu_a \otimes \mu_b)=\delta_{ab}\mu_a$ et $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$.
Sur toute affine ouverte, nous avons $(\mathcal{O}_S\otimes \mathcal{O}_S\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{O}_S)\circ(\mu_a \otimes \mu_b)=\mu_a \circ \mu_b$. Donc c'est équivalent à la condition que$\mu_a \circ \mu_b =\delta_{ab}\mu_a$ et $\sum_i \mu_i =\mathrm{id}$.
Réclamation: cela équivaut aux données {$(U_i)_{i\in M}$ est une couverture ouverte disjointe de $S$}.
Preuve de la réclamation. Étant donné un couvercle ouvert disjoint$(U_i)_{i\in M}$ de $S$, puis chacun $U_i^c=\bigcup_{j\neq i}U_j$ est ouvert, il existe un élément unique $c_i\in \mathcal{O}_S(S)$ st $c_i|_{U_i}=1$ et $c_i|_{U_i^c}=0$utilisant des axiomes de gerbe. Avec chaque$c_i$ nous pouvons associer $\mu_i:\mathcal{O}_S\to \mathcal{O}_S,u\mapsto c_i u$. Ce n'est pas difficile de voir ça$\mu_a \circ \mu_b=\delta_{ab}\mu_a$. Comme$\sum_i c_i=1$, nous avons $\sum_i \mu_i=\mathrm{id}$.
Inversement pour chacun $s\in S$, $\mu_{i,s}:\mathcal{O}_{S,s}\to\mathcal{O}_{S,s}$ est terminé déterminé par $c_{i,s}=\mu_{i,s}(1)$. Nous savons que$c_{i,s}c_{j,s}=\delta_{ij}c_{i,s}$ et $\sum_{i}c_{i,s}=1$. Donc chacun$c_{i,s}$ est idempotent ($x^2=x$), mais le seul élément idempotent dans un anneau local est $0$ et $1$. Donc exactement l'un des$(c_{i,s})_{i\in M}$ vaut 1.
Pour toute $i$, dénoter $U_{i}$ en tant que sous-ensemble constitué de $s$ st $\mu_{i,s}=\mathrm{id}$. ensuite$(U_{i})_{i\in M}$est disjoint. Si$s\in U_i$, puis $\mu_{i,s}=\mathrm{id}$, il s'étend clairement à un quartier ouvert de $s$, voir tag 01CP . Donc$(U_{i})_{i\in M}$ est le couvercle ouvert disjoint de $S$. Le résultat suit.$\square$
Clairement les données {$(U_i)_{i\in M}$ est une couverture ouverte disjointe de $S$} équivaut à la fonction data {localement constante $S\to M$}. Le résultat suit.