Fermer une courbe irrationnelle
Pour tout nombre rationnel q, un nombre fini d'arcs circulaires congruents mesurant chacun 2πq radians peut être assemblé en une courbe fermée continue (éventuellement auto-sécante). Il existe de nombreuses autres possibilités, mais pour les fractions de la forme 1 / n, on peut simplement utiliser n copies pour reconstituer un cercle. Et plus généralement pour a / b, les copies b peuvent fermer une courbe couvrant un cercle à la fois.
Existe-t-il un nombre irrationnel p tel que les arcs 2πp-radians congruents finis puissent être assemblés en une courbe fermée continue sans coins?
Réponses
Vous pouvez.
Vous pouvez faire droite-droite-gauche-droite-gauche, gauche-gauche-droite-gauche-droite. Par symétrie, vous êtes obligé de revenir à un point sur le même axe que celui où vous avez commencé.
En ajustant l'angle, vous pouvez déplacer le point final vers l'avant ou vers l'arrière et le faire coïncider avec la position de départ. Le chemin est suffisamment irrégulier pour aboutir probablement à un irrationnel.
Un angle qui fonctionne est$1.823476582$ radians, ou $0.290215312 \times2\pi$.
Je n'ai aucune preuve que ce soit en fait irrationnel, cependant, mais ça y ressemble.