Fermeture de cet ensemble sous ajout

Question

Définir $S = \{ (x_n)_n \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \mid \sum\limits_{n=1}^{∞} {x_n}^2 < ∞ \}.$

Comment montrer que cet ensemble est fermé sous addition ponctuelle?

Laisser $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ être deux séquences avec leur série associée convergeant vers $L_1 := \sum {x_n}^2$ et $L_2 := \sum {y_n}^2$. Comment montrer que la série associée à$(x_n + y_n)_n$ converge aussi?

Jusqu'à présent, je peux raisonner $\sum_n (x_n + y_n)^2 = L_1 + L_2 + 2\sum x_n y_n$, mais comment puis-je partir d'ici?

Answer 1

Allusion

$$\sum_{n}|x_n||y_n|\leq \sqrt{\sum_{n}x_n^2}\sqrt{\sum_{n}y_n^2}.$$

Answer 2

Compte tenu de ce que vous avez fait, il ne vous reste plus qu'à prouver que $\sum {x_n y_n}$est convergente. Pour ce faire, vous avez besoin d'une forme d'inégalité de Cauchy Swartz et énoncez ce qui suit:$$|x_n y_n|=\sqrt{x_n^2 \cdot y_n^2}\leq \frac{x_n^2 + y_n^2}{2}$$ Cette inégalité est parfois appelée AM-GM et, on peut en déduire que la somme $\sum {|x_n y_n|}$est convergente. Ainsi, le dum en question est absolument convergent.

Answer 3

Une meilleure façon serait d'utiliser le fait que $(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ alors $\sum (x_n+y_n)^{2} \leq 2\sum x_n^{2}+2\sum y_n^{2} <\infty$. Cela évite l'inégalité CS.