Filtres d'approximation et IIR

Question

Considérons le système invariant dans le temps discret avec entrée $x[n]$ et sortie $y[n]$ satisfaisant

$$y[n] = \sum_{k=1}^5{x[n-k]}$$

Envisagez de rapprocher le système souhaité avec un système IIR de second ordre avec fonction système

$$H^{'}(z)= \frac{1}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$$

Utilisez le critère d'erreur suivant:

où $h_d$ est la réponse impulsionnelle souhaitée. $$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\lvert h_d[n]+a_1h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]\right\rvert^2$$

Comment la fonction d'erreur particulière peut-elle être utile pour résoudre le système d'équations ou la réponse impulsionnelle souhaitée?

Dois-je prendre un dérivé pour les deux $a_1$ et $a_2$ et le rendre 0 pour obtenir le système d'équations?

Maintenant, voici ce que je reçois: $$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-1]+a_1h_d[n-1]h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]h_d[n-1])$$ et
$$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-2]+a_1h_d[n-1]h_d[n-2]+a_2h_d[n-2]h_d[n-2])$$

Maintenant, comment puis-je résoudre ce système de deux équations et comment puis-je approximer la réponse impulsionnelle souhaitée à partir de cela?

Answer 1

Je pense qu'il est instructif d'essayer de comprendre comment cette fonction d'erreur est dérivée et pourquoi elle a du sens. Tout d'abord, la réponse impulsionnelle souhaitée$h_d[n]$ est donnée implicitement par la relation entrée-sortie du système souhaité:

$$y[n]=\sum_{k=1}^{5}x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_d[k]x[n-k]\tag{1}$$

La fonction d'erreur donnée est la fonction d'erreur minimisée par la méthode de Prony pour la conception des filtres IIR. Nous essayons d'approcher une fonction de transfert donnée$H_d(z)$ par un filtre IIR $H(z)=B(z)/A(z)$:

$$B(z)\stackrel{!}{=}H_d(z)A(z)\tag{2}$$

Pour l'exemple donné, nous obtenons (avec $B(z)=1$)

$$1\stackrel{!}{=}\left(h_d[0]+h_d[1]z^{-1}+\ldots+h_d[N-1]z^{-(N-1)}\right)\left(1+a_1z^{-1}+z_2z^{-2}\right)\tag{3}$$

Pour l'équation $(3)$ pour être satisfait, nous avons besoin de tous les coefficients associés à des puissances négatives de $z$ disparaitre:

$$\begin{align}h_d[1]+h_d[0]a_1&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[2]+h_d[1]a_1+h_d[0]a_2&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[3]+h_d[2]a_1+h_d[1]a_2&\stackrel{!}{=}0\\\vdots\end{align}\tag{4}$$

En pratique, nous pouvons résoudre $(4)$ de manière approximative en minimisant la somme des carrés du côté gauche, conduisant à la fonction d'erreur donnée

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\big(h_d[n]+h_d[n-1]a_1+h_d[n-2]a_2\big)^2\tag{5}$$

Enfin, les coefficients optimaux $a_1$ et $a_2$ sont obtenus en prenant la dérivée de $(5)$ wrt $a_1$ et $a_2$et les assimiler à zéro. Il en résulte deux équations linéaires avec deux inconnues.