Fonction génératrice de probabilité de Zn

Question

Soit la fonction génératrice de probabilité suivante :

$G(s)=1-α(1-s)^β$

où $0≤α≤1$ et $0$< $ β≤1$.

Sommes-nous capables de dériver la fonction génératrice de probabilité $G_n(s)$ de la variable aléatoire $Z_n$ dans la notation habituelle où $G_n(s)=G(G_{n-1}(s))$ et ainsi trouver une expression pour $P(Z_n=0), P(Z_n=1)$ , et $P(Z_n=2)$ ?

j'ai essayé de trouver $E[Z]$ en trouvant $G'(1)$ mais a fini par $αβ(1-s)^{β-1}$ , où $(1-s)$ sera 0 et $\beta -1 ≤ 0$ le rendant indéfini.

J'ai cependant pu trouver que la probabilité d'extinction ultime (traitant cela comme un processus de ramification) était une série géométrique en puissance de $\alpha$ dans:

$G_n(0) = 1-\alpha ^{\frac{1- \beta ^n}{1-\beta}}$

Mais je ne sais pas en quoi cela serait utile pour déterminer le PGF de $Z_n$ et les probabilités respectives.

Answer 1

Utilisation de l'induction sur$n$, vous obtenez facilement$G_n(s)=1-\alpha^{(1-\beta^n)/(1-\beta)}(1-s)^{\beta^n}$(en train de lire$1-\alpha^n(1-s)$pour$\beta=1$). En ce qui concerne les valeurs attendues, vous avez un résultat correct ; ceux-ci n'existent pas (c'est-à-dire$\infty$) si$\beta<1$.