Fonctionnel linéaire sur $\mathbb{R}$ Espace vectoriel

Question

Si f et g sont deux fonctionnelles linéaires non nulles sur $\mathbb{R}$ espace vectoriel $V$[dimension finie]. Telle que chaque fois$f(x)\geq 0$ nous avons $g(x)\geq 0$. La réclamation est$Ker(f)=Ker(g)$ et $f=\alpha g$ pour certains $\alpha > 0.$

Ma pensée :

Chaque fonctionnelle linéaire à partir de $V$ à $\mathbb{R}$ est de la forme $f(x)=\sum_{i=1}^{n} a_ix_i$ et $g(x)=\sum_{i=1}^{n} b_ix_i$ où $x=\sum_{i=1}^{n} x_ie_i$.
De conclure$Ker(f)=Ker(g)$.
$f(x)=0$ $\implies g(x) \geq 0.$ Maintenant si $g(x)=0$alors rien à montrer. Si$g(x) > 0$ puis en considérant $g(x)-f(x)=g(x)$ on a $$\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)x_i=\sum_{i=1}^{n}b_ix_i$$ Nous ne pouvons en conclure que $b_i-a_i=a_i$ pour tous $1\leq i\leq n$. Droite? Si non, nous pouvons arriver à une contradiction qui$f$ est $0$.

Une observation :

Si $(g(x) \geq 0$ et $f(x)<0)$ puis $f(-x)>0\implies g(-x)\geq 0 \implies g(x)=0. $

Donc si $g(x) >0$ puis $f(x) \geq 0.$

Answer 1

Supposons au contraire qu'il existe $x\in\ker(f)$ tel que $x\not\in\ker(g)$. Maintenant$f(x)=0$, donc nous devons avoir $g(x)\ge0$, ou plus précisément $g(x)>0$ comme nous l'avons supposé $g(x)\ne0$. Mais alors$g(-x)=-g(x)<0$. Bien que$f(-x)=0$. Cela contredit notre condition. Alors$\ker(f)\subseteq\ker(g)$.

Pour prouver l'inclusion inverse, supposons qu'il existe $x\in\ker(g)$ tel que $x\not\in\ker(f)$. Maintenant, prenez n'importe quel$y$ tel que $g(y)<0$. Un tel$y$ doit exister, car pour tout $z$ avec $g(z)>0$, $g(-z)<0$, et nous avons supposé que $g$n'est pas la fonction zéro. Maintenant, laisse$k>|f(y)|/|f(x)|$. Puis si$f(x)>0$, puis $f(y+kx)>0$, sinon si $f(x)<0$, puis $f(y-kx)>0$. Mais$g(y+kx)=g(y-kx)=g(y)<0$. Cela contredit donc notre condition. Alors$\ker(g)\subseteq\ker(f)$.

Prenez n'importe quel $x\not\in\ker(g)$. Laisser$g(x)=r$. Laisser$y=r^{-1}x$. ensuite$g(y)=1$. Laissez également$\alpha=f(y)$. Maintenant comme$f$ et $g$ sont des fonctionnelles linéaires non nulles, donc la dimension de leur image est $1$. Par théorème de nullité de rang, nous avons$V=\ker(g)+\mathrm{span}(y)$. Donc tout$v\in V$ peut être écrit comme $v=z+ky$, où $z\in\ker(g)$ et $k\in\mathbb{R}$. ensuite$$f(v)=f(z+ky)=f(z)+kf(y)\stackrel{(1)}{=}k\alpha=\alpha(g(z)+kg(y))=\alpha g(v)$$ où $(1)$ découle du fait que $z\in\ker(g)=\ker(f)$. Par conséquent$f=\alpha g$.