Fonctions de test et d'analyse Weierstrass M

Question

J'ai étudié comment résoudre certains PDE en utilisant la méthode de Fourier. Mais j'aimerais savoir pourquoi nous n'utilisons pas simplement la série Taylor pour résoudre ces problèmes. Après quelques recherches, j'ai trouvé deux résultats intéressants: 1er) Convergence uniforme Vs. Pointwise Convergence, que j'ai bien compris; 2e) Théorème de Cauchy-Kowaleski, que je ne pouvais pas.

Ma tentative de résoudre, en général, les DE (via Taylor Series) semble être fausse selon le premier sujet. C'est parce que je ne peux assurer qu'une convergence ponctuelle. Voici ce que j'ai fait jusqu'à présent: je remplace chaque fonction par sa forme Taylor Series. Ensuite, je conclus qu'il convergera si:

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{f^{(n+1)}(z_0)}{f^{(n)}(z_0)} \right| \leq M \in \mathbb{R}_+\tag{1}\label{1} $$

Afin d'atteindre \ eqref {1}, je réécris $f$sous sa forme Taylor Series, puis appliquez le test de rapport. Cependant, comme il semble, cela assurera une convergence ponctuelle, ce qui n'est pas suffisant.

Donc, ma question est: pouvons-nous utiliser Weierstrass M-Test pour vérifier si oui ou non la série Taylor convergera uniformément? Si oui, comment dois-je procéder avec les calculs? Supposons toutes les fonctions$f$ sont des analyses complexes dans leurs domaines ouverts et simplement connectés.

Comment puis-je trouver chaque $M_n$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test)?

Toute aide et recommandation sont les bienvenues. Merci

Answer 1

Ce que je pense qu'il vous manque, c'est la définition du rayon de convergence.

1. Une série de puissance $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n $ converge de manière absolue et ponctuelle pour $|z|<R$, où $R$ est le rayon de convergence, défini par $$ \frac1R \overset{\triangle}= \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.$$ En effet, pour chaque $z$ tel que $|z|<R$, nous avons $|z|/R<1$, nous pouvons donc utiliser la formule de série géométrique comme suit: $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n z^n| = \sum_{n=0}^\infty (|a_n|^{1/n} |z|)^n \le \sum_{n=0}^\infty \left (\frac1R|z|\right)^n = \frac1{1-|z|/R} < \infty. $$

2. Une fois que vous savez qu'il converge vers une boule ouverte $|z|<R$, vous pouvez vérifier cela pour chaque $\epsilon>0$, il converge uniformément sur le plateau $\{z:|z|<R-\epsilon\}$. C'est par le test Weierstrass M:$$ |a_n z^n| \le \left(\frac1R|z|\right)^n \le \left(\frac{R-\epsilon}R\right)^n =: M_n $$ depuis $\sum_{n=0}^\infty M_n < \infty$ (encore une fois, série géométrique), $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ converge absolument et uniformément.

Answer 2

Les séries de puissance ne convergent pas uniformément sur leur disque de convergence. Mais ils le font localement, ce qui signifie qu'ils convergent uniformément sur chaque sous-ensemble compact de leur disque de convergence. Le test Weierstraß-M peut être utilisé pour le prouver.

Notez d'abord que chaque sous-ensemble compact d'un disque centré sur $z_0$ est contenu dans un disque compact également centré sur $z_0$. Il suffit donc de montrer une convergence uniforme sur les disques compacts$K_r(z_0)$ avec rayon $r$ plus petit que le rayon de convergence $R$. Sur un tel disque, nous avons

$$\vert a_k(z-z_0)^k\vert=\vert a_k\vert\vert z-z_0\vert^k\leq\vert a_k\vert r^k,$$

et la série avec ces termes est connue pour converger parce que la série de puissance originale converge absolument. Nous pouvons maintenant appliquer le test pour montrer une convergence uniforme sur le disque compact. Mais il ne convergera généralement pas sur tout le disque de convergence. Par exemple, l'expansion en série de la fonction exponentielle ne le fait pas. L'expansion en série de$\frac{1}{1-x}$ à $0$.