Fonctions trigonométriques - sin - cos - tan - Différences, applications réelles,
Au préalable, je tiens à souligner que j'étudie une fonction géométrique de base et que je suis assez en retard sur ce sujet, donc peut-être écrire quelque chose de pas trop intelligent ou ma question pourrait être idiote; Je pose cette question parce que je ne sais pas. J'ai fait des recherches sur ce sujet mais je n'ai rien trouvé, car je suis le seul à poser une telle question.
J'ai essayé de lire les fonctions trigonométriques dans Wiki mais le problème avec Wikipedia est que vous devez connaître le sujet, donc le langage et l'expression, sinon ce n'est vraiment pas compréhensible (explique quelque chose que vous ne savez pas avec quelque chose que vous ne savez pas).
Problème
Je suis venu ces 3 fonctions de base, sin, cos et tan, je comprends comment les calculer, qui sont assez simples:
$$\sin(x) = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$$
$$\cos(x) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$$
$$\tan(x) = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$
Cependant, qu'est-ce qui me dérange vraiment si quelle est la différence réelle entre les 3? Évidemment, il y a 3 résultats différents, donc 3 «tailles» différentes (peut-être un rapport?) De l'angle intérieur de la cible.
Mes attentes où le résultat est le même, et les 3 fonctions servent à obtenir le degré d'angle des sommets en fonction de la valeur donnée, mais en fait, sont complètement différentes.
Des questions
- Quelle est la différence réelle entre chacun d'eux?
- Pourquoi quelqu'un voudrait-il calculer le péché plutôt que cos ou tan, ou cos plutôt que sin etc ...?
- Quelqu'un peut-il donner une application ou une utilisation réelle dans un problème réel de chacun d'eux, et pourquoi vous auriez choisi l'un ou l'autre?
- Tout autre aperçu est très apprécié.
Merci
Réponses
Exemple 1: Une pépinière plante un nouvel arbre et attache un hauban pour aider à soutenir l'arbre pendant que ses racines s'installent. Un fil de huit pieds est attaché à l'arbre et à un piquet dans le sol. Depuis le piquet dans le sol, l'angle d'élévation de la connexion avec l'arbre est de 42 °. Trouvez, au dixième de pied près, la hauteur du point de connexion sur l'arbre.
ici sine est le plus approprié
Exemple 2: Trouvez l'ombre projetée par un lampadaire de 10 pieds lorsque l'angle d'élévation du soleil est de 58 °. Trouvez la longueur au dixième de pied près.
ici la tangente est la plus appropriée
la source
J'ai toujours trouvé les fonctions trigonométriques beaucoup plus faciles à comprendre quand, malgré le nom, elles n'étaient pas abordées à partir de l'étude des triangles rectangles arbitraires, mais à partir de cercles unitaires, comme cela peut être fait de manière équivalente.
(Cela ne veut pas dire que c'est une meilleure approche - en fait, je considère maintenant que les définitions de triangle sont géométriquement préférables, car elles ne nécessitent aucune échelle de longueur ou origine - juste une plus facile à comprendre.)
Vous obtenez toujours des triangles dans cette vue, mais ils sont liés au cercle. L'image à garder à l'esprit est la suivante:
Ce que le cercle unité accomplit, c'est qu'il maintient toujours l'hypothèse à la valeur 1. Donc, dans ce cas, les formules se simplifient en
$$\begin{align} \sin =& \frac{\text{opposite}}{1} = \text{opposite} \\ \cos =& \frac{\text{adjacent}}{1} = \text{adjacent} \end{align}$$
La formule tangente ne simplifie pas, car elle ne contient même pas l'hypothèse.
Pourquoi gardons-nous l'hypothèse fixe, et non l'une des cathètes? Eh bien, essayons ce qui se passerait si nous faisions cela:
Ici, les triangles ne sont plus beaux et bien contraints dans le cercle unitaire, mais poussent à l'infini lorsque l'angle s'approche de 90 ° (ou 0 °, selon le cathéter que nous fixons).
C'est pourquoi la fonction tangente croît sans limite, alors que le sinus et le cosinus sont lisses et limités à la plage $[0,1]$ la seule différence étant un décalage de 90 ° (correspondant au passage à l'autre opposé).
Code source pour les animations ( Haskell avec bibliothèque de graphiques dynamiques ):
import Graphics.Dynamic.Plot.R2
import Diagrams.Prelude
main = plotWindow
[ shapePlot $ circle 1 & fcA transparent
, plotLatest [ lineSegPlot [(0,0), (x',0), (x,y), (0,0)]
| φ <- [pi/n, 3*pi/n ..]
, let x = cos φ
y = sin φ
x'= tan φ/y -- use x'=x instead for fixed-hypothenuse
]
, unitAspect ]
where n = 80
Il existe deux résultats fondamentalement importants en trigonométrie. $$\sin^2(x) +\cos^2(x)\equiv 1$$ $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$
Avec un triangle rectangle avec hypoténuse $1$ et un angle $x$. La base est$\cos x$ et hauteur $\sin x$, ou vice versa, et $\tan x$est leur ratio. Ce sont des ratios différents, mais ils sont connectés et offrent d'autres propriétés intéressantes.
Notez également que $\sin(x) =\cos(\frac\pi2-x)$.
Une conclusion importante de la première déclaration est que tout point sur un cercle$C$ Défini par $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ peut être écrit uniquement comme $(a+r\cos\theta, b+r\sin\theta)$ pour certains $\theta\in[0,2\pi)$. De nombreuses propriétés géométriques et analytiques utilisent ce fait, ainsi que l'intégralité de la théorie des nombres complexes reposant sur elle.
La mécanique et l'ingénierie utilisent également beaucoup les fonctions trigonométriques. Par exemple, une force frappe un plan à un angle, vous pouvez utiliser des fonctions trigonométriques sur cet angle pour déterminer les composantes horizontales et verticales de la force et résoudre les systèmes de cette manière.
L'utilisation la plus notoire de $\tan$à laquelle je peux penser, c'est la substitution d'intégration Weierstrass, qui permet de travailler rapidement de nombreuses intégrales. Faites de même pour les autres fonctions trigonométriques, car les propriétés spéciales qu'elles partagent les rendent bien adaptées à ce genre de chose.
D'après la définition de la fonction trigonométrique, les trois expressions sont en effet équivalentes puisque
$$\cos \left(\frac \pi 2 -x\right)= \sin x$$
nous avons ça
$$\text{opposite}=\text{hypotenuse} \cdot \sin x \implies \text{opposite}=\text{hypotenuse} \cdot \cos \left(\frac \pi 2 -x\right)$$
qui, par $y=\left(\frac \pi 2 -x\right)$ mène à
$$\text{adjacent}=\text{hypotenuse} \cdot \cos y $$
Le même résultat peut être obtenu à partir du théorème de Pythagore.
Pour le troisième nous avons
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}{\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}=\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$
Ces expressions sont utilisées pour la résolution des triangles en fonction des informations qui nous sont données et en fonction de ce que nous recherchons.
Reportez-vous également aux
- Explication de SOH CAH TOA
En fait, il existe deux «registres» qui n'ont pas été couverts par les réponses précédentes expliquant pourquoi $\sin$ et $\cos$ sont si proches (pour la tangente, c'est différent).
- Si vous regardez leurs représentations graphiques,
on est décalé (par $+\pi/2$) de l'autre. Mais il y a plus à dire, ce décalage équivaut à une dérivation et vous avez un cercle d'ordre quatre:
$$(\sin) \rightarrow (\cos) \rightarrow (-\sin) \rightarrow (-\cos) \rightarrow (\sin)$$
où le $\rightarrow$ signifie à la fois dérivation et décalage (vu de la droite vers la gauche).
- Revenons maintenant aux mêmes idées (différenciation = décalage) avec des nombres complexes en utilisant l'étonnante formule De Moivre:
$$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}\tag{1}$$
Différencions (1) par rapport à $\theta$:
$$(\cos \theta)' + i (\sin \theta)'=ie^{i \theta}$$
c'est-à-dire en utilisant à nouveau (1)
$$(\cos \theta)' + i (\sin \theta)'=i(\cos \theta + i \sin \theta)$$
$$(\cos \theta)' + i (\sin \theta)'=-\sin \theta + i \cos \theta$$
prouver en identifiant les parties réelles et imaginaires resp. cette:
$$(\cos \theta)' =-\sin \theta \ \ \text{and} \ \ (\sin \theta)'= \cos \theta)$$
(en récupérant ainsi les résultats que nous avons vus précédemment).
Rappelez-vous maintenant que multiplier par $i$ signifie "rotation" géométrique par $\pi/2$; donc pas de surprise qu'en faisant cela 4 fois, nous sommes de retour sur nos pieds. Le cycle d'ordre 4 que nous avions vu dans la première partie s'explique très bien par les nombres complexes.