Formes réelles de groupes réducteurs complexes

Question

J'ai une collection de questions liées (à moi), qui découlent du fait que j'ai l'impression d'avoir un tas de pièces, mais pas une image claire. Je suis curieux de connaître les formes de groupes réducteurs en général, donc je ne demande que$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ par souci de simplicité et pour des exemples explicites.

Comme premier fait, je sais que $k$ formes de variétés algébriques $X_{k'}$ sont classés par $H^1(\operatorname{Gal}(k'/k), \operatorname{Aut}_{k'}(X))$. Il y a une manière abstraite (pour moi) de produire les formes désirées en les tordant par des cocycles.

Cependant, les manières explicites que j'ai de construire différentes formes me semblent différentes.

1. Tori. Ici, j'atteins immédiatement pour$\operatorname{Res}_{k'/k}(T)$, ou peut-être un torus normalisé $\operatorname{Res}_{k'/k}^{(1)}(T)$. Par exemple, deux formes réelles de$\mathbb{G}_{m}(\mathbb{C})$ sont précisément $\mathbb{R}^*$ et $\operatorname{Res}_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}^{(1)}(\mathbb{G}_m(\mathbb{C})) = \mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$.

Je ne sais pas clairement comment voir cette deuxième construction d'un tore non fractionné (en fait anisotrope?) Comme provenant d'une torsion avec un cocycle.

1. Groupes semi-simples. Ici, l'exemple naturel est$\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$. La forme réelle divisée est$SL_2(\mathbb{R})$, donc je cherche un moyen de construire $\operatorname{SU}_2(\mathbb{R})$. Dans ma tête, ici je fais quelque chose de beaucoup plus cocycle-y, quand je prends les points fixes de$(x, (\overline{x}^{-1})^t)$ où $S_2$ agit en échangeant des coordonnées: ici je suis conscient que je prends un automorphisme de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$donné par transposition inverse, et en le composant avec l'action galoisienne de conjugaison complexe, et en prenant des points fixes. Il devrait être clair que ma compréhension de cela est assez ponctuelle, mais au moins je suis conscient que quelque chose de ce genre est lié à la filiation.

Mes questions sont donc les suivantes:

A) Comment la restriction des scalaires (et peut-être la prise de normes) s'inscrit-elle dans le mécanisme cohomologique plus général de construction de formes par torsion?

B) Disons que j'ai construit les deux formes réelles $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ et $\operatorname{SU}_2(\mathbb{R})$. Existe-t-il un moyen de prédire ou de comprendre quelles formes de tori apparaîtront? Dans$\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ nous obtenons les deux formes, $\mathbb{R}^*$ encastré en diagonale et $S^1$ intégré via $$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.$$

Dans $\operatorname{SU}_2$cependant, nous n'obtenons que ce dernier. Y a-t-il une manière plus abstraite de paramétrer quelles formes de tori apparaîtront dans une forme donnée d'un groupe réducteur? Je sais que les classes de conjugaison de tori doivent être paramétrées par$H^1(\operatorname{Gal}(k'/k), N_G(T))$ (du moins je pense cela) mais je ne sais pas comment l'utiliser.

Désolé pour la question alambiquée, j'ai juste l'impression d'avoir les pièces du puzzle en main ...

Je serais également ravi si quelqu'un avait l'impression qu'il y avait une bonne référence (même si elle ne traite que $\mathbb{C}/\mathbb{R}$) pour ce matériau.

Answer 1

Je réponds à la question 1. Ce n'est qu'un calcul.

Au lieu d'un vrai tore, disons ${\bf T}$, Je considère une paire $(T,\sigma)$, où $T$ est un tore complexe et $\sigma\colon T\to T$est une involution anti-holomorphe. Voir cette question et la réponse de YCor.

Pour un tore complexe $T$, considérez le groupe cocharacter $${\sf X}_*(T)={\rm Hom}(T, {\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}).$$ Vers un vrai tore ${\bf T}=(T,\sigma)$ on associe une paire ${\sf X}_*({\bf T}):=({\sf X}_*(T),\sigma_*)$, où $\sigma_*\in {\rm Aut\,}\,{\sf X}_*(T)$est l'automorphisme induit. Il satisfait$\sigma_*^2=1$.

Nous dénotons $\Gamma={\rm Gal}({\Bbb C}/{\Bbb R})=\{1,\gamma\}$, où $\gamma$est la conjugaison complexe. On obtient une action de$\Gamma$ sur ${\sf X}_*(T)$ (à savoir, $\gamma$ agit via $\sigma_*$). De cette manière, on obtient une équivalence entre la catégorie de${\Bbb R}$-tori et la catégorie de $\Gamma$-lattices (généré fini ${\Bbb Z}$-libre $\Gamma$-modules): $$ {\bf T}\rightsquigarrow {\sf X}_*({\bf T}). $$ De plus, c'est un foncteur exact: une courte séquence exacte de tori réels $$ 1\to{\bf T}'\to{\bf T}\to{\bf T}''\to 1$$ induit une courte séquence exacte de $\Gamma$-réseaux $$ 0\to {\sf X}_*({\bf T}') \to {\sf X}_*({\bf T}) \to {\sf X}_*({\bf T}'')\to 0.$$

Considérons maintenant le tore ${\Bbb G}_{m,{\Bbb R}}=({\Bbb C}^\times,\,z\mapsto\bar z)$ et le correspondant $\Gamma$-treillis $({\Bbb Z},1)$. De plus, considérons le tore$$R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}=(\,{\Bbb C}^{\times\,2},\, (z_1,z_2)\mapsto (\bar z_2,\bar z_1)\,)$$ et le correspondant $\Gamma$-treillis $({\Bbb Z}^2,J)$, où $$ J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. $$ Considérons l'homomorphisme de la norme $$N\colon R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}\to {\Bbb G}_{m,{\Bbb R}},\quad (z_1,z_2)\mapsto z_1z_2$$ et le morphisme correspondant de $\Gamma$-réseaux $$N_*\colon ({\Bbb Z}^2,J)\to ({\Bbb Z},1),\quad (x_1,x_2)\mapsto x_1+x_2.$$ Par définition, $$R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}^{(1)}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}=\ker N,$$ et donc son groupe de co-caractères est $\ker N_*=\{(x, -x)\mid x\in{\Bbb Z}\}.$ La conjugaison complexe $\gamma$ agit sur $\ker N_*$ par $J$, C'est, $$(x,-x)\mapsto (-x, x).$$ On voit ça $\ker N_*\simeq ({\Bbb Z},-1)$, et donc $$R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}^{(1)}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}\simeq ({\Bbb C}^\times, z\mapsto \bar z^{\,{-1}}).$$ Puisque $$ (z\mapsto \bar z^{\,{-1}})\,=\,(z\mapsto z^{-1})\,\circ\,(z\mapsto \bar z),$$ on voit ça $R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}^{(1)}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}$ peut être obtenu auprès de ${\Bbb G}_{m,{\Bbb R}}=({\Bbb C}^\times,\,z\mapsto\bar z)$ en se tordant par le cocycle $\gamma\mapsto (z\mapsto z^{-1})$, comme demandé.

Notez que ces trois $\Gamma$-réseaux $({\Bbb Z},1),\ ({\Bbb Z}^2,J),$, et $({\Bbb Z},-1)$ sont les seuls indécomposables $\Gamma$-réseaux (jusqu'à isomorphisme); voir cette réponse . Il s'ensuit que ces trois vrais tori${\Bbb G}_{m,{\Bbb R}}$, $R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}$, et $R_{{\Bbb C}/{\Bbb R}}^{(1)}{\Bbb G}_{m,{\Bbb C}}$ sont les seuls vrais tori indécomposables (encore une fois, jusqu'à l'isomorphisme).