Formule fermée à $N:=\sum_{j=0}^{k/2}\left(\begin{array}{c} n \\ k-j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} k-j \\ j \end{array}\right) $

Question

J'ai donné à mysel ce qui suit

Problème : pour$k$ même et $n\geq k$, peut-on trouver une formule fermée pour la somme $$ N:=\sum_{j=0}^{k/2}\left(\begin{array}{c} n \\ k-j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} k-j \\ j \end{array}\right)? $$

Au début, j'ai pensé qu'une sorte d'identité de Vandermonde pouvait résoudre ce problème. Maintenant, je pense que c'est loin d'être anodin, si possible du tout. Je veux m'assurer de ne pas me tromper.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Notez que $\ds{{k - j \choose j} = 0}$ quand $\ds{j > {k \over 2}}$: La somme peut être effectuée $\ds{\mbox{" up to $\ ds {+ \ infty "}$}}$: \begin{align} {\cal N}\pars{k,n} & \equiv \bbox[5px,#ffd]{% \sum_{j = 0}^{k/2}{n \choose k - j}{k - j \choose j}} \\[5mm] & = \sum_{j = -\infty}^{0}{n \choose k + j} {k + j \choose -j} \\[5mm] & = \sum_{j = -\infty}^{k}{n \choose j} {j \choose k - j} = \sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j}{j \choose k - j} \\[5mm] & = \sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j}\bracks{z^{k - j}} \pars{1 + z}^{j} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}\sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j} \bracks{z\pars{1 + z}}^{j} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}\pars{1 + z + z^{2}}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}{1 \over \bracks{1 -2\pars{\color{red}{-1/2}}z + z^{2}} ^{\color{red}{-n}}} \\[5mm] & = \sum_{j = 0}^{\infty}\on{C}_{j}^{\color{red}{-n}}\, \pars{\color{red}{-{1 \over 2}}}z^{j} \end{align}

$\ds{C_{j}^{\pars{\alpha}}}$est un polynôme de Gegenbauer .$$ \implies \bbx{{\cal N}\pars{k,n} = C_{k}^{\pars{\color{red}{-n}}}\, \pars{\color{red}{-{1 \over 2}}}} \\ $$

• $\ds{{\cal N}\pars{k,n} = 0}$ quand $\ds{k \geq 2n + 1}$.
• $\ds{{\cal N}\pars{k,n} = {\cal N}\pars{k,n - k}}$.

Parcelle de $\ds{{\cal N}\pars{k,10}}$: