Générer des triplets de Pythagore primitifs

Question

Compte tenu de cette équation $a^2 + b^2 = c^2$ , pour générer tous les triplets de Pythagore primitifs, tout ce que nous devons faire est de: écrire (a, b, c) comme:

$a = 2mn $

$b = m^2-n^2$

$c= m^2+n^2$

avec conditions: $\gcd(m,n)=1$ et $(m+n)$%$2= 1 $

Mais qu'en est-il si nous ajoutons un paramètre $K$ à l'équation telle que: $a^2 + b^2 = c^2 - K$ , avec $K$ étant un entier positif, comment pouvons-nous générer $(a,b,c)$ dans ce cas, satisfaire l'équation ci-dessus telle que $\gcd(a,b,c) =1$ ?

Answer 1

Il suffit de montrer à quel point $C$ d'un triple est le même que le côté $A$d'un autre triple. Par exemple, si nous avons$(3,4,5)$ et $(5,12,13)$, puis

$$A_1^2+B_1^2=C_2^2-K_2^2\quad\text{ is simply }\quad 3^2+4^2=13^2-12^2$$ Dans ce cas "le plus simple", $GCD(A_1,B_1,C_2)=1$.

Il existe une formule pour identifier ces correspondances, si elles existent. Commençons par$(33,56,65)\text{ and }(63,16,65)\quad $ et trouver des correspondances où $A_2=C_1=65$.

\ begin {équation} A = m ^ 2-n ^ 2 \ implique n = \ sqrt {m ^ 2-A} \ qquad \ text {pour} \ qquad \ sqrt {A + 1} \ le m \ le \ frac {A + 1} {2} \ end {équation} $$A=65\implies \lfloor\sqrt{65+1}\rfloor=8\le m \le \frac{65+1}{2} =33\quad\land\quad m\in\{9,33\}\implies n \in\{4,32\} $$ $$F(9,4)=(65,72,97)\qquad \qquad F(33,32)=(65,2112,2113)$$

Ce que cela signifie est $$(33^2+56^2)=(63^2+16^2)=(97^2-72^2)=(2113^1-2112^2)$$

Il y en a un nombre infini car côté $A$ inclut tout nombre impair supérieur à $1$. De plus, je ne l'ai pas encore prouvé mais tous les exemples que j'ai vus ont montré que le$GCD(A,B,C)=1$ l'exigence est également remplie.